Tenez, je vous donne 20 points pour cet exo, mais aidez moi svppp ​



Exercice 2: Soit M(m; f(m)) un point quelconque de l'arc de parabole d'équation y = f(x) = 1 - x ^ 2 où 0 < x <= 1 La tangente arc de parabole coupe (Or) en A et (Oy) en B (voir graphique ci-dessous)

B

1

1 - m ^ 2

M(m; 1 - m ^ 2)

y = 1 - x ^ 2

1

1. Démontrer que l'équation réduite de la tangente à cet arc de parabole en M(m, f(m)) est y = - 2mx + 1 + m ^ 2

2. En déduire les coordonnées des points A et B définis précédemment.

3. Déterminer l'aire g(m) du triangle OAB. Justifier que g(m) = 1/4 * (m ^ 3 + 2m + 1/m) où 0 < m <= 1

4. On veut déterminer M de telle sorte que l'aire de ce triangle soit minimale. Pour cela on introduit la fonction A définie sur [0, 1] par g(x) = 1/4 * (x ^ 3 + 2x + 1/x)

(a) Justifier que g est dérivable sur [0, 1]

(b) Déterminer g' * (x)

(c) Etudier le signe du trinôme 3X ^ 2 + 2X - 1 sur [0, 1] et en déduire le signe du polynôme (3x ^ 4 + 2x ^ 2 - 1) sur [0, 1]

(d) Etudier les variations de g sur [0, 1]

(e) Répondre au problème posé.