Démarche des tests d'hypothèse et de l'estimation
Algo
python*
Objectif: on se propose de confronter une modélisation théorique à des résultats mesurés, afin de se faire une idée de sa bonne adéquation ou de son incompatibilité.
Partie A : traitement contre l'asthme
Un laboratoire pharmaceutique souhaite vérifier l'efficacité d'un médicament contre l'asthme.
Dans la population française, la proportion d'enfants qui présentent des symptômes d'asthme sur une année est d'environ 10 %. Le laboratoire mène donc une étude sur un échantillon de 100 enfants.
Elle leur administre le traitement et relève pendant un an le nombre d'enfants qui présentent des symptômes d'asthme.
En raison des fluctuations d'échantillonnage, la fréquence d'individus qui présentent des symptômes dans l'échantillon peut être égale à 0,1 même si le traitement est efficace. Inversement, cette fréquence peut être égale à 0,04 sans que le traitement ne soit actif.
On fait l'hypothèse que le traitement n'est pas actif. Dans ce cas la probabilité pour un individu de déclarer la maladie est de 0,1.
L'échantillon de 100 individus peut être vu comme un schéma de Bernoulli. X est la variable aléatoire qui donne le nombre d'individus qui présentent des symptômes dans cet échantillon.
1. a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Calculer l'espérance et l'écart-type de X.
2. La fonction I ci-contre, en langage Python, renvoie le plus petit entier naturel a tel que P(X ≤ a) > 0,025.
a) Saisir ce programme en complétant les cadres colorés.
b) Exécuter ce programme et interpréter l'affichage obtenu.
c) Ecrire une fonction J, sur un modèle analogue, qui renvoie le plus petit entier naturel b tel que P(X = b) = 0,975.
Saisir ce programme, l'exécuter et interpréter l'affichage.
d) Que peut-on dire de la probabilité de l'événement
{X € [a;b]} ? Expliquer.
& fron math import *
• def Conb(n, k):
(«factorial(n)/(factorial(n-k)*factorial(k))|
return c
def I():
k=®
while P<-0.025:
k-k+1
P-P+S
return k,P
3. Pour décider de l'efficacité ou non du traitement, on convient que :
• si le nombre d'individus qui présentent des symptômes appartient à (a;b), alors l'hypothèse ne peut pas être rejetée au seuil de 95 %;
• dans le cas contraire, l'hypothèse est rejetée.
Dans cet échantillon de 100 enfants, 6 ont déclaré des symptômes d'asthme au cours de l'année d'observation. Ce laboratoire pharmaceutique peut-il considérer que son traitement est efficace ?
Partie B: traitement contre la maladie d'Alzheimer
Un autre laboratoire voudrait commercialiser un médicament contre la maladie d'Alzheimer.
En France, on estime que 15 % environ des personnes de plus de 80 ans sont atteintes par la maladie.
Le laboratoire mène une étude sur 100 personnes de plus de 80 ans. Il observe que sur cet échantil-lon, 7 individus développent la maladie. Que penser de l'efficacité du traitement ?