94 Distance entre un point et une courbe
Dans un repère orthonormé, on considère la parabole P d'équation y=x². On note A le point de coordon- nées (3;0) et M un point mobile sur P d'abscisse x≥0.
Le but de cet exercice est de déterminer la position du point M sur P telle que la longueur AM soit minimale.
1. Réaliser la figure sur un logiciel de géométrie dyna- mique et conjecturer la solution de ce problème.
2. Justifier que la distance AM est minimale si et seu- lement si AM² est minimale.
3. On note d la fonction qui à tout réel.x positif associe AM².
a. Montrer que d(x)= x⁴+x²-6x+9.
b. Montrer que la dérivée de la fonction d vérifie : d'(x)=(x−1)(4x²+4x+6) .
c. Étudier les variations de la fonction d sur [0; +∞[.
4. Conclure.
