Le jeu de fléchettes John est un amateur du jeu de fléchettes. Il sait que s'il atteint la cible à un lancer, alors il l'atteint au tir suivant dans 85 % des cas. Cependant, s'il n'atteint pas la cible, cela le perturbe et il échoue au lancer suivant neuf fois sur dix. De plus, quand il commence une partie, il atteint la cible dans 85 % des cas. On souhaite étudier l'évolution des lancers de John au cours d'une partie. Pour tout entier naturel n non nul, on considère l'événement A,, << John atteint la cible au n-ième lancer >>. On note p, la probabilité de l'événement A,,. Partie A Étude des trois premiers lancers 1. a. Construire un arbre pondéré décrivant les deux premiers lancers d'une partie. b. Calculer la probabilité que John réussisse ses deux premiers lancers. c. Montrer que p₂ = 0,7375. Interpréter le résultat. Partie B Étude de deux lancers successifs quelconques 1. À partir des données de l'énoncé, donner les pro- babilités conditionnelles PA (A+1) et PA (An+1). 2. Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant l'évolution entre les n-ième et (n+1)-ième lancers. Objectif Étudier la répétition d'une expérience aléatoire à l'aide d'un tableur. 2. a. Construire un arbre pondéré décrivant l'évolution entre le deuxième et le troisième lancer. b. Calculer la probabilité que John atteigne la cible au troisième lancer. An+1 PECIMEN 3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : P+1=0,75p+0,1 An+1 An+1 An An+1 Partie C Utilisation d'un tableur On modélise l'évolution des lancers sur la cible à l'aide d'une feuille de calculs. Numéro du lancer Probabilité Probabilité de d'atteindre la cible ne pas atteindre la cible 0,85 0,15 0,2625 2 0,7375 3 0,653125 0,346875 4 4 0,58984375 0,41015625 1. Quelle formule a été saisie en B3 puis recopiée vers le bas avec la poignée de recopie ? =1-0,2625 ⚫ =0,75*B2+0,1 • =0,75*0,85+0,1 ⚫ =B2*0,85+C2*0,1 2. Conjecturer à partir de quel lancer John a moins d'une chance sur deux d'atteindre la cible? 3. Un ami de John lui dit que s'il effectue beaucoup de lancers, il finira par n'atteindre la cible que deux fois sur cinq. A-t-il raison? Comment justifier cette affirmation?