Exercice 1: DM Vacances de printemps - à rendre le lundi 22 avril 2024 Une communauté de communes regroupe cinq villes, notées A, B, C, D, E. Le siège de la communauté se trouve dans la ville A. Chaque commune paie une contribution annuelle y (en euros) à la communauté en fonction de sa distance x (en km) à la ville A. La ville A paie la contribution la plus forte, qui s'élève à 5 000 € par an. La ville E, qui se trouve à 15 km de la ville A, contribue pour un montant de 3 000 € par an. On décide de calculer ces contributions à l'aide d'une fonction affine, afin que l'accroissement de contribution soit proportionnel à l'accroissement de distance. Distances et contributions Ville Distance x Contribution y A 0 km 5000 € B 5 km C 10 km D 3400 € E 15 km 3000 € On souhaite établir une répartition des contributions qui respecte les contraintes indiquées. 1) Utiliser un graphique a) Tracer un repère orthogonal avec les distances en abscisses et les contributions en ordonnées. On prendra 0,5 cm pour 1 km et 2 cm pour 1 000 €. b) Placer les points correspondants aux villes A et E. Tracer la droite (AE). c) En admettant que cette droite est utilisée pour calculer les contributions des autres villes, lire graphiquement celles des villes B et C, puis la distance entre la ville D et la ville A. 2) Utiliser des calculs Dans ce repère, la droite (AE) représente une fonction affine f(x) = mx + p. On dit que cette droite a pour équation y = mx + P. a) A l'aide des informations concernant les villes A et E, déterminer le coefficient directeur m, puis l'ordonnée à l'origine P de cette droite. b) Calculer les contributions des villes B et C, arrondies à l'euro, et comparer les résultats aux lectures graphiques. c) Calculer la distance entre la ville D et la ville A, puis comparer avec la lecture graphique. 3) Vérifier le montant d'une contribution Deux nouvelles villes souhaitent intégrer la communauté de communes. La ville F, située à 8 km de la ville A, propose de contribuer à hauteur de 4 000 € par an. La ville G, située à 9 km de la ville A, ne souhaite verser que 3800 € par an. a) Conjecturer graphiquement si les contributions proposées par ces villes respectent le mode de calcul choisi. b) Prouver ces conjectures par le calcul.