EXERCICE 4
Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0,0001 près.
4 points
Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée
suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir; sinon la maladie est mortelle.
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 1% est porteur de la
maladie.
On obtient les résultats suivants:
⚫si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85% des cas;
⚫ si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population
entière et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.
On note:
M l'évènement: «l'animal est porteur de la maladie »> ;
Tl'évènement: <«.
1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
2. Un animal est choisi au hasard.
a. Quelle est la probabilité qu'il soit porteur de la maladie et que son test soit po-
sitif?
b. Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058.
3. Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la pro-
babilité pour qu'il soit porteur de la maladie?
4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considé-
rer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à des tirages avec
remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le
nombre d'animaux ayant un test positif.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X?
b. Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test po-
sitif?
5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de
100 euros et le coût de l'abattage d'un animal non dépisté par le test et ayant déve-
loppé la maladie est de 1 000 euros. On suppose que le test est gratuit.
D'après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal
subissant le test est donnée par le tableau suivant:
Coût
Probabilité
0
0,9405
100
0,0580
1000
0,001 5
a. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un ani-
mal le coût à engager.
b. Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au
test, quelle somme doit-il prévoir d'engager?