La légende du jeu d'échecs La légende se situe 3 000 ans av. J.C. D'après la légende, l'inventeur présumé des échecs indiens serait un brahmane nommé Sissa. Il aurait venté ce jeu pour distraire son prince de l'ennui. Souhaitant le remercier, le monarque propose à Sissa de oisir lui-même sa récompense. Sissa demanda au prince de déposer un grain de riz sur la première case, eux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite pour remplir l'échiquier en doublant la antité de grain à chaque case. Le prince accorda immédiatement cette récompense sans se douter de ce qui lait suivre. En effet, son conseiller lui expliqua qu'il venait de ruiner le pays. Nous allons comprendre ourquoi dans cet exercice. . Compléter le tableau suivant : Numéro de la case Nombre de 1 2 3 4 5 7 8 1 grains de riz 2 4 8 16 32 64128 2. a. Calculer les sommes : A = 1 + 2 B=1+2+22 C=1+2+22+23 D= 1+2+22+ 23 +24 b. Montrer que : 1+2+22+23+ 24 = 25-1 c. En déduire la valeur de la somme : S=1+2+22+23+24+25 On admettra que pour tout nombre entier positif n: 1+2+22+23+...+ 2 ≈2n+1 3. Combien le roi devra-t-il donner de grains pour la 5° case ? Pour la 8° ? Pour la 20° ? Pour la 64° et dernière case? 4. En appliquant la formule admise à la question 2.c, montrer que le roi doit donner au total environ 264 grains de riz. Avec la calculatrice, donner en écriture scientifique une valeur approchée de ce nombre (arrondir la partie décimale au millième). Montrer que ce nombre de grains est supérieur à 18 milliards de milliards ! 5. En estimant qu'en moyenne, 1 grain de riz pèse environ 0,04 gramme, montrer que la masse totale de ces grains est d'environ 720 milliards de tonnes. 6. La production mondiale annuelle de riz était en 2021 voisine de 780 millions de tonnes. Combien d'années seraient nécessaires avec la production actuelle pour satisfaire l'inventeur du jeu d'échecs? 7. En estimant que le volume d'une tonne de riz est d'environ 1,6 m³, quel est le volume total de tous ces grains de riz? 8. La superfície de la France est d'environ 550 000 km². Quelle serait la hauteur du riz si on répartissait tous les grains sur la surface de la France?
