On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par :
Inx + xe / x^2
On note I sa courbe représentative.
A-Étude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction g définie sur ]0 ;+∞[ par :
g(x) = -2|nx-xe + 1.

1. Déterminer les limites de g en 0 et en + l’infini.

2. Étudier le sens de variation de g.

3. Montrer que dans [0,5 ; 1] l'équation g(x) = 0 admet une solution et une seule notée a. Déterminer un encadrement de a à 0,1 près.

4. En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x.

B Étude de la fonction f

1. Vérifier que f'(x) = g(x)/ x^3
puis étudier le sens de variation
de f sur ]0; +∞[.

2. Montrer que f(alpha) = 1 + alpha*e / 2alpha^2

3. Donner le tableau de variations de f.