On considère la fonction f définie

sur ]0; + infini [ par :
Inx + xe / x^2
On note I sa courbe représentative.
A-Étude d'une fonction auxiliaire
On considère la fonction g définie
sur ]0;+∞[ par :
g(x) = -2|nx-xe + 1.
1. Déterminer les limites de g en 0 et en + l'infini.
2. Étudier le sens de variation de g.
3. Montrer que dans [0,5 ; 1] l'équation
g(x) = 0 admet une solution et une
seule notée a. Déterminer un encadrement de a à 0,1 près.
4. En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x.
B Étude de la fonction f

g(x) = -2|nx-xe + 1.
1. Déterminer les limites de g en 0 et en + l'infini.
2. Étudier le sens de variation de g.
3. Montrer que dans [0,5 ; 1] l'équation
g(x) = 0 admet une solution et une
seule notée a. Déterminer un encadrement de a à 0,1 près.
4. En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x.

B Étude de la fonction f
1. Vérifier que f'(x) = g(x)/ x^3 puis étudier le sens de variation de f sur ]0;+ infini[.
2. Montrer que f(alpha) = 1 + alpha*e /
2alpha^2
3. Donner le tableau de variations de f.