EXERCICE 1 Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes. Partie A En vue de sélectionner des joueurs pour un tournoi international de football, une fédération nationale met à la disposition de l'entraîneur un certain nombre de joueurs évoluant au pays et hors du pays. Parmi eux, il y a des joueurs professionnels et des joueurs non professionnels. Ces joueurs se répartissent comme suit : 75% des joueurs évoluent au pays; 60% des joueurs évoluant au pays sont professionnels; 80% des joueurs évoluant hors du pays sont professionnels. On choisit au hasard un joueur pour subir un test antidopage. On désigne par A l'évènement «< Le joueur choisi évolue au pays >>. On désigne par B l'évènement « Le joueur choisi est professionnel >>. On désigne par C l'évènement « Le joueur choisi évolue au pays et est professionnel >>. 1. a) Traduis l'énoncé par un arbre de probabilité. b) Donne PA(B), la probabilité de B sachant A. c) Démontre que la probabilité de l'évènement C est égale à 0,45. 2. Calcule la probabilité de B. Partie B Un entraîneur doit sélectionner des joueurs parmi ceux mis à sa disposition. Pour ce faire, il soumet d'abord chaque joueur à'un test qui consiste à faire trois tirs au but successifs à partir du point de penalty. Est retenu à l'issue de ce premier test, tout joueur qui réussit au moins deux de ses trois tirs. On suppose que les tirs sont indépendants les uns des autres et que la probabilité qu'un joueur donné réussisse un tir est égale à 4 1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirs réussis par un joueur donné à l'issue de l'épreuve de trois tirs au but successifs. a) Détermine les valeurs prises par X. b) Détermine la loi de probabilité de X. 2. Calcule l'espérance mathématique de X. 27 3. Démontre que la probabilité qu'un joueur donné soit retenu est égale à 27/32​