On considère ici la fonction carré f définie sur R par f (x) = x2 .

P désigne sa courbe dans un repère orthonormé (O;i, j).
Partie A :
On considère un réel a > 0 . On note A le point de P dont l’abscisse est a
1. Démontrer que la tangente Ta à la parabole P en A a pour équation y = 2ax − a2 .
1
2. En déduire qu’un vecteur directeur de Ta est ua .
2a
3. Soit b un réel. On admet que la tangente Tb à P en son point d’abscisse b a alors pour équation y = 2bx − b2 ,
1
et que ub est un vecteur directeur de Tb .
2b
En utilisant le produit scalaire, démontrer que Ta et Tb sont perpendiculaires si et seulement si b = − 1 .
4a
4. On suppose maintenant que b = − 1 et on note Ia (xa ; ya ) le point d’intersection de Ta et Tb .
4a a) Démontrer que xa = a − 1 .
2 8a
b) En déduire que ya ne dépend pas de a .
c) Surunmêmegraphiqued’unité4cm,tracerP,Ta etTb poura=1,poura=1etpoura=1. 2 4
Partie B
Onnote d ladroited’équation y=−1 et F0;1.
44
Pourtout x∈R,onnote M lepointde P d’abscisse x et H lepointde d d’abscisse x.
1. Exprimer en fonction de x les coordonnées de M et de H .
2. Démontrer que H est le projeté orthogonal de M sur d .
3. Démontrer que MF = MH .
4. On note Tx la tangente à P en M . Démontrer que Tx et (HF ) sont perpendiculaires.
5. Un peu de géométrie
On note ∆ la perpendiculaire à Tx passant par M et K le symétrique de H par rapport à M . ∆ coupe l’axe des ordonnées en L
a) Démontrer que KML = MHF .
b) Démontrer que LMF = MFH .
c) En déduire que KLM = LMF .