REPONSE
1. On sait que dans un triangle, la somme des angles vaut 180°.
Comme DBC est isocèle en B, d’après le codage, les angles BDC et BCD sont égaux.
BDC +BCD +DBC = 180◦
30◦ +30◦ +DBC = 180◦
60◦ +DBC = 180◦
DBC = 180◦ −60◦
DBC = 120◦
L’angle DBC = 120◦
.
2. Dans le triangle ADC rectangle en D, on connaît l’hypoténuse, AC = 10cm, on cherche le côté opposé [AD].
sin 30◦ =
AD
10cm
donc AD = 10cm×sin 30◦ = 5cm
AD = 5cm
3. Il y a deux possibilités pour calculer la longueur du côté [DC] :
Trigonométrie :
Dans le triangle ADC rectangle en D, on connaît l’hypoténuse, AC = 10cm, le côté opposé AD = 5cm et on cherche le côté
adjacent [DC].
On peut utiliser au choix, le cosinus ou la tangente de l’angle :
cos 30◦ =
DC
10cm
Donc DC = 10cm×cos30◦ ≈ 8,7cm
tan30◦ =
5cm
DC
Donc DC ×tan30◦ = 5cm et DC =
5cm
tan 30◦
≈ 8,7cm
Théorème de Pythagore :
Dans le triangle ADC rectangle en D,
D’après le théorème de Pythagore on a :
DA2 +DC2 = AC2
5
2 +DC2 = 102
25+DC2 = 100
DC2 = 100−25
DC2 = 75
DC =
p
75
DC ≈ 8,7
Dans tous les cas, on arrive à DC ≈ 8,7cm au millimètre près.
3. Examinons les angles du triangle ABD.
Comme B ∈ [AC], ABD +DBC = 180◦
, ces deux angles sont supplémentaires.
Comme DBC = 120◦
, ABD = 180◦ −120◦ = 60◦
.
Comme le triangle ADC est rectangle en D, ADB +BDC = 90◦
, ces deux angles sont complémentaires.
Comme CDB = 30◦
, ADB = 90◦ −30◦ = 60◦
.
Le triangles ABD a donc deux angles égaux : il est isocèle en A.
On peut raisonner de deux manières :
Le dernier angle :
On sait que la somme des angles dans un triangle vaut 180° donc :
ABD + ADB +BAD = 180◦
60◦ +60◦ +BAD = 180◦
120◦ +BAD = 180◦
BAD = 180◦ −120◦
BAD = 60◦
Le triangle ABD a trois angles égaux, il est équilatéral.
La mesure des côtés :
ABD est isocèle en A donc AB = AD = 5cm d’après la question 2.
Ainsi AB = 5cm. Or AC = 10cm donc BC = 10cm−5cm = 5cm.
D’après le codage, BC = DB, donc DB = 5cm.
Le triangle ABD a donc trois côtés égaux à 5 cm, il est équilatéral.
Le triangle ABD est équilatéral.
Le point B est le milieu du segment [AC].