Quatre villes sont situées aux quatre sommets d'un carré de côté 150 km. On se propose de les relier par un réseau d'autoroutes de longueur totale minimale. Pour simplifier les calculs, on convient que le côté du carré est égal à 1.
Les points A, B, C et D sont les quatre sommets du carré, les points E et F sont les points de jonction des autoroutes, et le point I est le milieu de [AB]. On désigne par α une mesure en radians de l'angle IEB (α ∈ ]π /4; π /2[ ) et par f(α) la longueur totale du réseau.

1.a. Exprimer EI et EB en fonction de α.
b. Montrer que EF = ( sin(α) - cos(α) ) / sin (α)
c. En déduire: f(α) = ( sin(α) - cos(α) + 2 ) / sin (α)

2.a. Montrer que f'(α) = ( 1 - 2 cos(α) ) / sin ² (α)
b. En déduire que f admet un minimum et préciser en quelle valeur il est atteint.
c. Calculer la longueur totale minimale du réseau.