しゅ
MB
B
Cert
94
Mathématiques 2023/2024
Devoir à la maison No 6
Seconde
test recommandé de travailler avec une camarade de son choir, afin que chacun puisse virer les
Histats de son partenaire. Une seule copie, portant les deur noms, sera alors
render
Problème : maximisation d'une aire
Un terrain a la forme d'un triangle ABC rectangle en B, de dimensions AB-20m et BC-30 m. Soit M
un point quelconque de l'hypotenuse [AC], N son projeté orthogonal sur [A (
ce qui signifie: Ne[A]
et (MN) (AB)) et P son projeté
orthogonal sur (BC) (ce qui signifie Pe BC
(MP) (BC)). Le
rectangle MPBN représente la partie du
terrain qui sera occupée par une maison.
On veut que son aire
soit la plus grande possible.
1. On note y-NBetz-PB les dimensions au sol de la maison
a) A l'aide du théorème de Thals, exprimer y en fonction de z
b) En déduire que l'aire du terrain occupé par la maison s'exprime en fonction de par
(1)--
x²+20x.
Quel est l'intervalle de définition de cette fonction?
2. a) Représenter graphiquement la fonction / dans un repère orthogonal. On prendra des valeurs de z
comprises entre 0 et 30 et on fera figurer le tableau de valeurs sur la copie
b) Faire le tableau de variation de f
c) En déduire les valeurs des dimensions au sol pour lesquelles l'aire du terrain occupé par la maison
est maximale, ainsi que la valeur de l'aire maximale.
3. On veut vérifier par un calcul que les valeurs trouvées graphiquement dans la question précédente
sont exactes.
a) Développer et réduire l'expression -3(x+p)+q, dans laquelle p et q sont des nombres réels
Déterminer ensuite les valeurs de p et de q
pour que -3(x+2)²+(x).
b) Etudier le signe de l'expression f(z)-q suivant les valeurs de z. On pourra faire un tableau de
signes.
e) En déduire les valeurs des dimensions au sol pour lesquelles l'aire du terrain occupé par la maison
est maximale, ainsi que la valeur de l'aire maximale
3. On veut vérifier par un calcul que les valeurs trouvées graphiquement dans la question précédente
sont exactes.
a) Développer et réduire l'expression -3(x+p)+q, dans laquelle p et q sont des nombres réels
Déterminer ensuite les valeurs de p et de q
pour que -3(x+2)²+(x).
b) Etudier le signe de l'expression f(z)-q suivant les valeurs de z. On pourra faire un tableau de
signes.
e) En déduire les valeurs des dimensions au sol pour lesquelles l'aire du terrain occupé par la maison
est maximale, ainsi que la valeur de l'aire maximale
3. On veut vérifier par un calcul que les valeurs trouvées graphiquement dans la question précédente
sont exactes.
a) Développer et réduire l'expression -3(x+p)+q, dans laquelle p et q sont des nombres réels
Déterminer ensuite les valeurs de p et de q
pour que -3(x+2)²+(x).
b) Etudier le signe de l'expression f(z)-q suivant les valeurs de z. On pourra faire un tableau de
signes.
e) En déduire les valeurs des dimensions au sol pour lesquelles l'aire du terrain occupé par la maison
est maximale, ainsi que la valeur de l'aire maximale