Répondre :
Pour démontrer que \(\sqrt{3}\) est irrationnel par l'absurde sans détailler chaque étape, on procède ainsi :
Supposons que \(\sqrt{3}\) est rationnel. Alors, il existe deux entiers \(a\) et \(b\) (avec \(b \neq 0\) et \(\frac{a}{b}\) est une fraction irréductible) tels que \(\sqrt{3} = \frac{a}{b}\).
En élevant les deux côtés au carré, nous obtenons :
\[
3 = \frac{a^2}{b^2}
\]
ce qui donne :
\[
a^2 = 3b^2
\]
Cela implique que \(a^2\) est divisible par 3. Donc, \(a\) est divisible par 3. Supposons \(a = 3k\) pour un certain entier \(k\). En substituant dans l'équation, nous obtenons :
\[
(3k)^2 = 3b^2 \quad \text{soit} \quad 9k^2 = 3b^2 \quad \text{donc} \quad b^2 = 3k^2
\]
Cela implique que \(b^2\) est divisible par 3, donc \(b\) est divisible par 3. Ainsi, \(a\) et \(b\) sont tous deux divisibles par 3, ce qui contredit l'hypothèse que \(\frac{a}{b}\) est une fraction irréductible.
Donc, \(\sqrt{3}\) ne peut pas être rationnel. Par conséquent, \(\sqrt{3}\) est irrationnel.
Supposons que \(\sqrt{3}\) est rationnel. Alors, il existe deux entiers \(a\) et \(b\) (avec \(b \neq 0\) et \(\frac{a}{b}\) est une fraction irréductible) tels que \(\sqrt{3} = \frac{a}{b}\).
En élevant les deux côtés au carré, nous obtenons :
\[
3 = \frac{a^2}{b^2}
\]
ce qui donne :
\[
a^2 = 3b^2
\]
Cela implique que \(a^2\) est divisible par 3. Donc, \(a\) est divisible par 3. Supposons \(a = 3k\) pour un certain entier \(k\). En substituant dans l'équation, nous obtenons :
\[
(3k)^2 = 3b^2 \quad \text{soit} \quad 9k^2 = 3b^2 \quad \text{donc} \quad b^2 = 3k^2
\]
Cela implique que \(b^2\) est divisible par 3, donc \(b\) est divisible par 3. Ainsi, \(a\) et \(b\) sont tous deux divisibles par 3, ce qui contredit l'hypothèse que \(\frac{a}{b}\) est une fraction irréductible.
Donc, \(\sqrt{3}\) ne peut pas être rationnel. Par conséquent, \(\sqrt{3}\) est irrationnel.
Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour,
Par l’absurde,
Si √3 ∈ Q, il existe (p, q) ∈ N²tel que :
√3 =p/q avec (p, q) premiers entre eux.
En élevant au carré, on a :
p² = 3q² et 3 divise p².
Comme 3 est premier, 3 divise p d’où p=3k, k ∈ N.
En reportant dans l’égalité, on obtient :
9k²=3q² soit 3k²= q²
donc 3 divise q, ce qui contredit (p, q) premiers ente eux.
( 3 divise p et q or (p, q) premiers entre eux. )