Emilie et Pierre cherchent les solutions de cette équation : (x-1)^2-(2*+3)^2=0
-Emilie dit à Pierre que la solution est -4 car (-4-1)^2-(2*(-4)+3)^2=0
-Pierre répond à Emilie qu'elle ne peut pas être sûre de sa réponse, car il manque peut-être des solutions ...
1. Que pensez des réponses des ces deux élèves ?
2. Résoudre l'équation proposée. Quel élève a raison ?
Bonjour,
1)Emilie a raison sur un point : (-4) est bien solution de l'équation (la justification qu'elle donne est correcte).
Cependant, rien ne permet d'affirmer qu'il n'y a pas d'autre solutions : Emilie n'a pas résolu l'équation, elle n'a fait que montrer que (-4) est solution. Donc Pierre a aussi raison.
2)On factorise en utilisant l'identité remarquable : a²-b² = (a+b)(a-b) :
[tex]\left(x-1\right)^2-\left(2x+3\right)^2 = 0\\ \left[\left(x-1\right)-\left(2x+3\right)\right]\left[\left(x-1\right)+\left(2x+3\right)\right] = 0\\ \left(x-1-2x-3\right)\left(x-1+2x+3\right) = 0\\ \left(-x-4\right)\left(3x+2\right) = 0\\ \left(x+4\right)\left(3x+2\right) = 0[/tex]
A la dernière ligne, j'ai changé le signe de la première parenthèse, ce qui a pour effet de changer le signe de toute l'expression. Mais ça n'a aucun effet, puisque l'expression est égale à 0.
Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul.
[tex]x+4 = 0\\ x = -4[/tex]
Ou :
[tex]3x+2= 0\\ 3x = -2\\ x = -\frac 23[/tex]
On écrit :
[tex] S= \left\{-\frac 23 ; -4\right\}[/tex]
