Besoin d'aide svp !
Une fonction polynôme du second degré f vérifie f (-2) = f (4) = 0 et admet pour maximum la valeur 3. Déterminer l'expression de f (x), en justifiant.
Coucou,
Une fonction du second degré a une expression algébrique du type :
f(x) = ax² +bx +c.
On doit déterminer les valeurs de a, b et c, sachant que f(-2) = f(4) = 0.
f(-2) = 0 <=> (-2)²a +(-2)b + c = 0 <=> 4a - 2b + c = 0 (1)
f(4) = 0 <=> 4²a + 4b + c = 0 <=> 16a + 4b + c = 0 (2)
D'après l'équation (1), on trouve c = 2b - 4a
Donc dans l'équation (2), on remplace c par 2b - 4a :
16a + 4b + 2b - 4a = 0 <=> 12a + 6b = 0 <=> b = -12a/6 <=> b = -2a
On peut alors dire la chose suivante pour la c :
c = 2b - 4a or b= -2a
= 2*(-2a) - 4a
= - 4a - 4a
= - 8a
Donc on a :
f(x) = ax² + bx + c or b= -2a et c= -8a
= ax² - 2ax - 8a
= a (x² -2x -8)
f(x) admet pour maximum la valeur 3, revient à dire que x est le milieu de l'intervalle [-2,4], autrement dit x = (-2 + 4)/2 :
x = (-2 + 4)/2 = 2/2 = 1
Donc on obtient f(1) = 3.
f(x) = a (x² -2x -8) or f(1) = 3
f(1) = a(1²-2x1 -8) = 3
a(-9) = 3
a =- 1/3
On peut alors remplacer toutes les lettres par les valeurs qu'on a trouvées :
f(x) = -1/3 x² -2/3x -8/3.
Voilà :)
