Répondre :
Soit f la fonction définie sur ]0;3] par f(x)= -2lnx+4x^2-6x+1
On appelle Cf la courbe représentant la fonction f dans un repère orthogonal (O, I, J)
1) a) Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0;3], f'(x)= 2g(x)/x
f'(x)=-2/x+8x-6
=(-2+8x²-6x)/x
=2(4x²-3x-1)/x
=2g(x)/x
2) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
f'(x) est du signe de 4x²-3x-1
or 4x²-3x-1=(x-1)(4x+1)
donc f'(x)<0 si x<1 et f'(x)>0 si x>1
donc f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;3]
3) a) Montrer que l'équation f(x)=0 admet deux solutions a et b
on applique le th des valeurs intermédiaires sur les intervalles [0,5;0,6] et [1,4;1,5]
b) Donner un encadrement de a à 10^-3 près.
on trouve a ≈ 0,571 et b ≈ 1,457
4) la courbe Cf possède-t-elle des tangentes qui soient parallèles à la droite d'équations y= -6x ?
f'(x)=-6 donne 4x²-3x-1=-3x
donc 4x²-1=0
donc (2x-1)(2x+1)=0
donc x=0,5
au point A(0,5;f(0,5)) la tangente est parallèle à (d):y=-6x
5) Tracer Cf (unités graphique; 4cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées).
figure simple et laissée au lecteur