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Exercice :
Romain propose le jeu suivant à Mael : un sac contient n boules noires et une boule blanche (avec n entier naturel supérieur ou égal à 1). Mael tire une boule au hasard, note sa couleur, la remet dans le sac, puis tire une nouvelle boule.
Si les deux boules tirées sont noires, Romain verse 1€ à Mael.
Si les deux boules tirées sont blanches, Romain verse 10€ à Mael.
Si les deux boules tirées sont de couleurs différentes, Mael doit donner 3,50€ à Romain.
Soit G la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain algébrique de Mael(il est compté négativement si c'est une perte).
1) Déterminer la loi de probabilité de G.
les valeurs de G sont {-3,5;+1;+10}
P(G=-3,5)=P(BN)+P(NB)
=n/(n+1)*1/(n+1)+1/(n+1)*n/(n+1)
=(2n)/(n+1)²
P(G=+1)=P(NN)
=n/(n+1)*n/(n+1)
=(n²)/(n+1)²
P(G=+10)=P(BB)
=1/(n+1)*1/(n+1)
=1/(n+1)²
2) Calculer l'espérance mathématique de G en fonction de n.
E(G)=∑k*p(G=k)
=-3,5*(2n)/(n+1)²+1*(n²)/(n+1)²+10*1/(n+1)²
=(n²-7n+10)/(n+1)²
3) Pour quelles valeurs de n le jeu est-il équitable ?
le jeu est équitable si E(G)=0
donc si n²-7n+10=0
donc (n-2)(n-5)=0
soit si n=2 ou n=5
4) Pour quelles valeurs de n le jeu risque-t-il de rapporter plus d'argent à Romain ?
le jeu est gagnant ppour Romain si E(G)<0
donc si n²-7n+10<0
soit si (n-2)(n-5)<0
donc si 0≤n<2 ou si n>5