Répondre :
Ex 1
Système à 3 inconnues (x;y;z) à résoudre selon la méthode de Gauss
{-2x-4y+6z=-2
{10x-6y+2z=4
{9x-3y+3z=9
donc
{-x-2y+3z=-1 (L1)
{5x-3y+z=2 (L2)
{3x-y+z=3 (L3)
on applique L2->5L1+L2 et L3->3L1+L3
donc
{-x-2y+3z=-1 (L1)
{ -13y+16z=-3 (L2)
{ -7y+10z=0 (L3)
on applique L3->7L2-13L3
{-x-2y+3z=-1 (L1)
{ -13y+16z=-3 (L2)
{ -18z=-21 (L3)
donc
{-x-2y+3z=-1 (L1)
{ -13y+16z=-3 (L2)
{ z=7/6 (L3)
donc
{-x-2y+3z=-1 (L1)
{y=5/3 (L2)
{z=7/6 (L3)
donc
{x=7/6 (L1)
{y=5/3 (L2)
{z=7/6 (L3)
donc S={(7/6;5/3;7/6)}
Ex 2
soit A=√(23-8√7)
soit A=a-b√7
donc (a-b√7)²=23-8√7
donc a²+7b²-2ab√7=23-8√7
donc
{a²+7b²=23
{2ab=8
donc
{a²+7b²=23
{b=4/a
donc a²+7*16/a²=23
donc (a²)²-23a²+112=0
donc a²=7 ou a²=16
donc a=4 et b=1
ainsi A=4-√7
Ex 3
soit f(x)=1/((x²-1)(x²+1))
on applique la méthode de décomposition en éléments simples
f(x)=a/(x-1)+b/(x+1)+c/(x²+1)
(x-1)*f(x)=1/((x+1)(x²+1))
(x-1)*f(x)=a+b(x-1)/(x+1)+c(x-1)/(x²+1)
la limite de f en x=1 donne a=1/4
(x+1)*f(x)=1/((x-1)(x²+1))
(x+1)*f(x)=a(x+1)/(x-1)+b+c(x+1)/(x²+1)
la limite de f en x=-1 donne b=1/4
(x²+1)*f(x)=1/(x²-1)
(x²+1)*f(x)=a(x²+1)/(x-1)+b(x²+1)/(x+1)+c
la limite de f en x=0 donne -a+b+c=-1 donc c=-1
donc 1/((x²-1)(x²+1))=(1/4)/(x-1)+(1/4)/(x+1)-1/(x²+1)