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On considère la fonction polynome P(x)= x^4 + x³ - 7x² -13x -6
a) Déterminer son degré puis alculer sa valeur pour x=1, x=-1 et x=0
deg(P)=max{n / ax^n ≠ 0}
donc deg(P)=4
P(1)=1^4+1^3-7*1^2-13*1-6=16
P(-1)=(-1)^4+(-1)^3-7*(-1)^2-13*(-1)-6=0 donc X+1 divise P
P(0)=0^4+0^3-7*0^2-13*0-6=-6
b) Déterminer une fonction polynome Q(x) du 3ieme degré telle que :
P(x)=(x+1).Q(x)
Q(x)=x^3+ax^2+bx+c
la valuation de Q vaut 1 car celle de P vaut aussi 1
alors x^4+x^3-7x^2-13x+6=(x+1)(ax^3+bx^2+cx+d)
on effectue une Division Euclidienne de P par X+1
X^4+X^3-7X^2-13X-6 | X+1
X^4+X^3 | X^3-7X-6
-----------
0-7X^2-13X-6
-7X^2-7X
------------------
-6X-6
-6X-6
---------
0
ainsi Q=X^3-7X-6
ou encore pour tout x ∈ IR : Q(x)=x³-7x-6
c) Déterminer les racines de Q(x), factoriser si possible et donner une expression factorisée de P(x)
Une racine évidente de Q est -1 car Q(-1)=-1+7-6=0
donc X+1 divise Q
donc Q(x)=(x+1)R(x)
donc x^3-7x-6=(x+1)(x^2+ax+b)
on effectue une division Euclidienne de Q par X+1
X^3-7X-6 | X+1
X^3+X^2 | X^2-X-6
------------
-X^2-7X-6
-X^2-X
-------------
-6X-6
-6X-6
--------
0
donc Q=(X+1)(X^2-X-6)
ou encore pour tout x ∈ IR : Q(x)=(x+1)(x²-x-6)
ainsi Q(x)=(x+1)(x+2)(x-3)
les racines de Q sont donc : -1 ; -2 ; 3
par conséquent : on obtient :
P(x)=(x+1)*Q(x)
=(x+1)(x+1)(x+2)(x-3)
donc pour tout x ∈ IR : P(x)=(x+1)²(x+2)(x-3)