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Nous avons donc 12 pièces que, pour faciliter le raisonnement, nous allons numéroter de 1 à 12.
Une de ces pièces a une masse différente des autres, on ne sait dans quel sens.
Faisons-en 3 tas :
– le tas A contenant les pièces 1, 2, 3 et 4 ;
– le tas B contenant les pièces 5, 6, 7 et 8 ;
– et le tas C contenant les pièces restantes.
Passons maintenant à la première pesée sur une balance de Roderval (à deux plateaux)
Nous mettons pour cela le tas A sur le premier plateau et le tas B sur l'autre.
Il y a deux possibilités :
1) Soit les deux plateaux sont à l'équilibre.
Cela signifie que la pièce recherchée est dans le tas C.
Pour déterminer laquelle, nous allons :
– mettre les pièces 9 et 10 dans le premier plateau,
– mettre la pièce 11 dans le deuxième plateau avec une des 8 autres pièces, dont on sait qu'elles sont de masse ordinaire,
– et laisser de côté la dernière pièce.
Il y a, là encore, deux possibilités :
a. Si les deux plateaux sont encore à l'équilibre, la pièce recherchée est à la 12.
Une troisième pesée nous apprend si elle est plus lourde ou moins lourde que les autres.
b. Si les deux plateaux ne sont pas à l'équilibre, la pièce recherchée est l'une des trois du tas C qui viennent d'être pesées.
Pour savoir laquelle, nous allons :
– enlever du deuxième plateau la pièce 11 et la pièce du tas A ou du tas B qui avait été rajoutée ;
– mettre sur ce deuxième plateau la pièce 9 ;
– laisser la pièce 10 sur le premier plateau.
Il y a cette fois-ci trois possibilités :
— Si les deux plateaux sont à l'équilibre, la pièce recherchée est la 11.
On sait également sa masse relative par le côté où penchait la balance à la deuxième pesée.
— Si les plateaux penchent du même côté qu'à la deuxième pesée, c'est la 10.
On sait sait si elle est plus ou moins lourde par le côté de la balance.
— Si les deux plateaux penchent à l'opposé de la deuxième pesée, c'est la 9.
On sait aussi si elle est plus ou moins lourde par le côté de la balance.
2) Soit les deux plateaux ne sont pas à l'équilibre lors de la première pesée.
Cela signifie que la pièce recherchée est dans le tas A ou le tas B.
Pour déterminer laquelle, on va faire une deuxième pesée :
– en changeant de plateau les pièces 2, 3 et 7 ;
– en ajoutant du nouveau côté de la 7 une des pièces du tas C ;
– et en enlevant la 4 et la 8 :
Il y a ici trois possibilités :
a. Si les plateaux sont à l'équilibre, c'est la 4 ou la 8.
Une dernière pesée avec l'une des deux sur un plateau et l'une des 10 autres sur l'autre plateau nous apprendra laquelle.
Sa masse relative nous est, quoi qu'il en soit, apprise par la première pesée.
b. Si le deux plateaux changent de sens, c'est une des trois pièces changées de plateau, c'est-à-dire une des pièces 2, 3 ou 7.
Et l'on procède comme en 1b pour savoir laquelle et quelle est sa masse relative.
c. Si les deux plateaux ne changent pas de sens, c'est une des 3 pièces qui n'ont pas été changées de plateau, c'est-à-dire une des pièces 1, 5 ou 6.
Et l'on procède ici aussi comme en 1b pour savoir laquelle et quelle est sa masse relative.