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1.11 a) Soit x le nombre de jours de travail du père, et y le gain d'un jour du père. On a donc :
— le salaire du père est xy = 880
— le salaire du fils est (x - 5) (y - 8) = 400
Soit le système suivant :
{ xy = 880
{ (x - 5) (y - 8) = 400
{ y = 880 : x
{ (y - 8) = 400 : (x - 5)
{ y = 880 : x
{ y = 400 : (x - 5) + 8
{ y = 880 : x
{ y = (400 + 8(x - 5)) : (x - 5)
{ y = 880 : x
{ y = (400 + 8x - 40) : (x - 5)
{ y = 880 : x
{ y = (8x + 360) : (x - 5)
Ce qui donne, par association : (8x + 360) : (x - 5) = 880 : x
(8x + 360)x = 880 (x - 5)
8x² + 360x = 880x - 4400
8x² + 360x - 880x + 4400 = 0
8x² - 520x + 4400 = 0
8(x² - 65x + 550) = 0
8(x² - 65x + 550) = 0
x² - 65x + 550 = 0
Le discriminant de cette équation est 65² - 4(1)(550) = 2025 et est strictement positif et √2025 = 45 donc l'équation admet 2 solutions réélles :
— soit x = (65 + 45) / 2 = 55
— soit x = (65 − 45) / 2 = 10
Or comme y = 880 : x, pour :
— x = 55 on a y = 880 : 55 = 16
— x = 10 on a y = 880 : 10 = 88
[Vérification : (55 - 5) (16 - 8) = 50 × 8 = 400 et 55 × 16 = 880
(10 - 5) (88 - 8) = 5 × 80 = 400 et 10 × 88 = 880 ]
On a donc deux solutions :
— soit le nombre de jours de travail du père est de 55 pour un salaire de 16 euros de l'heure
ceux du fils de est 50 pour un salaire de 8 euros de l'heure,
— soit le nombre de jours de travail du père est de 10 pour un salaire de 88 euros de l'heure
ceux du fils de est 5 pour un salaire de 80 euros de l'heure,
b) Soit x le nombre de personnes, et y la somme perçue par chacun d'eux avant la non-présentation des 6 personnes. On a donc :
— avant, nous avions 380 : x = y
— après, nous avons 380 : (x - 6) = (y + 3,80)
Soit le système suivant :
{ 380 : x = y
{ 380 : (x - 6) = (y + 3,80)
{ 380 : x = y
{ 380 : (x - 6) - 3,80 = y
{ 380 : x = y
{ (380 - 3,80(x - 6)) : (x - 6) = y
{ 380 : x = y
{ (380 - 3,80x + 22,8) : (x - 6) = y
{ 380 : x = y
{ (-3,80x + 402,8) : (x - 6) = y
Ce qui donne, par association : (-3,80x + 402,8) : (x - 6) = 380 : x
(-3,80x + 402,8)x = 380(x - 6)
-3,80x² + 402,8x = 380x - 2280
-3,80x² + 402,8x - 380x + 2280 = 0
-3,80x² + 22,8x + 2280 = 0
3,8(-x² + 6x + 600) = 0
-x² + 6x + 600 = 0
Le discriminant de cette équation est 6² - 4(-1)(600) = 2436 et est strictement positif donc l'équation admet 2 solutions réélles :
— soit x = (-6 + √(2436)) / (-2) ≈ -21.678
— soit x = (-6 − √(2436)) / (-2) ≈ 27.678
[Vérification : { 380 : x = y ⇔ 380 : 27,7 ≈ 13,7
{ 380 : (x - 6) = (y + 3,80)
⇔ 380 : (27,7 - 6) = 380 : 21,7 ≈ 17,5 = 13,7 + 3,8
{ 380 : x = y ⇔ 380 : -21,7 ≈ -17,5
{ 380 : (x - 6) = (y + 3,80)
⇔ 380 : (-21,7 - 6) = 380 : -27,7 ≈ -13,7 = -17,5 + 3,8]
Or la première solution est impossible car un nombre d'individus négatif est impossible. Il reste donc comme solution x ≈ 27,7 et y = 380 : x ≈ 13,7
Cependant comme un nombre de personnes ne peut pas ne pas être entier, on doit dire :
— soit qu'il y avait 28 personnes qui devaient toucher chacune 13,57 € et qu'il y a eu 22 personnes qui ont touché chacune 17,27 € (≠ 13,57 € + 3,8 €), ce qui ne correspond pas à l'énoncé, mais est le résultat cohérent le plus proche possible ;
— ou plutôt qu'il n'y a donc aucune solution.