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On considère la fonction f définie par f(x) = ((x + 2) / (x − 1)) − 1
soit f(x) = [ (x +2) − (x − 1) ] / (x − 1)
= 3/(x − 1)
1) Déterminer l'ensemble de définition Df de f.
Comme cette fonction n'est valable que pour un dénominateur non nul,
soit pour tout (x − 1) ≠ 0.
Son domaine de définition Df est donc : x ∈ IR − {1}
2) Déterminer l'ensemble dedérivabilité D'f de f.
Comme la dérivée d'une fonction homographique u/v est (u'v − uv')/v²
Et que la racine de v² est la même que celle de v.
La racine de (x − 1)² sera la même que celle de (x − 1)
L'ensemble de définition D'f sera aussi : x ∈ IR − {1}
3) Pour tout x appartenant à D'f, exprimer f'(x).
Pour tout x ∈ D'f, on aura donc :
f'(x) = [0 × (x − 1) − 3 × 1] / (x − 1)²
= −3/(x − 1)²
4) Déterminer l'équation réduite de la tangente T₂ à la courbe représentative de f, Cf, au point d'abscisse 2 puis une équation cartésienne de T₂.
L'équation réduite de la tangente T₂ à la courbe représentative de f, Cf,
au point d'abscisse 2 est :
y = f′(2) × (x−2) + f(2)
Or f(2) = 3/[(2) − 1] = 3/1 = 3
et f'(2) = −3/[(2) − 1]² = −3/1 = −3
On a donc : y = −3x + −3(−2) + 3
= −3x + 9
5) Déterminer l'équation réduite de la tangente T₄ à la courbe représentative de f, Cf, au point d'abscisse 2 puis une équation cartésienne de T₄.
L'équation réduite de la tangente T₂ à la courbe représentative de f, Cf,
au point d'abscisse 4 est :
y = f′(4) × (x−4) + f(4)
Or f(4) = 3/[(4) − 1] = 3/3 = 1
et f'(4) = −3/[(4) − 1]² = −3/9 = −1/3
On a donc : y = −1/3x + −1/3(−4) + 1
= −1/3x + 7/3
6) Dans cette question, on considère un toboggan dont la courbe a pour équation y= f(x) pour x appartenant à [2 ; 4].
On estime que la vitesse d'un objet laché sur le toboggan est proportionnelle à la pente du toboggan en chaque point du toboggan.
On notera a le coefficient de proportionnalité.
6 a) Exprimer la vitesse de l'objet en fonction de a, x, f et f'
Comme en tout point z, la tangente à f(x) a pour équation réduite :
y = f'(z) × (x − z) + f(z)
Son coefficient directeur, auquel correspond la pente, est donc : f'(z)
La vitesse de l'objet étant proportionnelle à la pente
par le coefficient de proportionnalité a
est donc : v = a f'(z)
6 b) Si a = −0,1 quelle est la vitesse de l'objet au point d'abscisse 2 ?
Si a = −0,1 la vitesse de l'objet au point d'abscisse 2 sera donc :
v = (−0,1)(−3) = 3/10
6 c) Si a = −0,1 quelle est la vitesse de l'objet au point d'abscisse 4 ?
Si a = −0,1 la vitesse de l'objet au point d'absisse 4 sera donc :
v = (−0,1)(−1/3) = 1/30