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N.B. : sauf indication contraire, AB désigne le vecteur AB (et non la longueur)
1) Si l'on a A(1 ; 2) et B(5 ; −1),
les coordonnées du vecteur AB sont (xB − xA ; yB − yA)
d'où (5 − 1 ; −1 − 2)
soit AB(4 ; −3)
Si l'on a C(−4 ; 7) et D(4 ; 1),
les coordonnées du vecteur CD sont (xD − xC ; yD − yC)
d'où (4 + 4 ; 1 − 7)
soit CD(8 ; −6)
Or comme xAB ⋅ yCD = 4 × −6 = −24
et que yAB ⋅ xCD = −3 × 8 = −24
les deux vecteurs AB et CD sont collinéaires.
2) Comme les vecteurs AB et CD sont collinéaires, les droites AB et CD sont parallèles.
3) Si l'on a A(1 ; 2) et E(13 ; −7),
les coordonnées du vecteur AE sont (xE − xA ; yE − yA)
d'où (13 − 1 ; −7 − 2)
soit AE(12 ; −9)
4) Comme xAB ⋅ yAE = 4 × −9 = −36
et que yAB ⋅ xAE = −3 × 12 = −36
les deux vecteurs AB et AE sont collinéaires.
le point A étant commun a ces deux vecteurs collinéaires, A, B et E sont alignés.
5) Si l'on a AE(12 ; −9) et CD(8 ; −6)
comme xAE/xCD = 12/8 = 3/2
et que yAE/yCD = −9/−6 = 3/2
on a donc AE = 3/2 CD
Les deux vecteurs AE et CD sont collinéaires
les droites (AE) et (CD) sont donc parallèles.
Comme de plus k ≠ 1 la longueur des deux vecteurs est différente
et les droites (AC) et (ED) ne sont donc pas parallèles.
Le quadrilatère AEDC ayant deux côtés parallèles est donc un trapèze.
