Répondre :
A(0, n) = n+1
A(m+1, 0) = A(m, 1)
A(m+1, n+1 ) = A(m, A(m+1,n))
donc A(3,n)=A(2,A(3,n-1))
=A(2,A(2,A(3,n-2)))
=A(2,A(2,A(2,A(3,n-3))))
=... etc
or A(2,0)=A(1,1)
=A(0,A(1,0))
=A(0,A(0,1))
=A(0,2)
=3
de même on obtient A(3,0)=5
ainsi on montre par récurrence que :A(3,n)=2^(n+3)-3
(I) : A(3,0)=2^(0+3)-3=8-3=5 donc P(0) est vraie
(H) : A(3,n)=2^(n+3)-3
A(3,n+1)=A(2,A(3,n))
=A(2,2^(n+3)-3)
=2^(n+3)*2-3
=2^(n+4)-3
=2^((n+1)+3)-3
donc P(n) est vraie
(C) : pour tout entier n : A(3,n)=2^(n+3)-3
A(m+1, 0) = A(m, 1)
A(m+1, n+1 ) = A(m, A(m+1,n))
donc A(3,n)=A(2,A(3,n-1))
=A(2,A(2,A(3,n-2)))
=A(2,A(2,A(2,A(3,n-3))))
=... etc
or A(2,0)=A(1,1)
=A(0,A(1,0))
=A(0,A(0,1))
=A(0,2)
=3
de même on obtient A(3,0)=5
ainsi on montre par récurrence que :A(3,n)=2^(n+3)-3
(I) : A(3,0)=2^(0+3)-3=8-3=5 donc P(0) est vraie
(H) : A(3,n)=2^(n+3)-3
A(3,n+1)=A(2,A(3,n))
=A(2,2^(n+3)-3)
=2^(n+3)*2-3
=2^(n+4)-3
=2^((n+1)+3)-3
donc P(n) est vraie
(C) : pour tout entier n : A(3,n)=2^(n+3)-3