Répondre :
hérédité :
on suppose que P(n) est vraie
donc il existe n tel que :
1+1/2²+1/3²+...+1/n² < 2-1/n
1+1/2²+1/3²+...+1/n² +1/(n+1)² < 2-1/n+1/(n+1)²
1+1/2²+1/3²+...+1/n² +1/(n+1)² < 2+(n-(n+1)²)/(n(n+1))
1+1/2²+1/3²+...+1/n² +1/(n+1)² < 2+(-n²-n-1)/(n²+n)
1+1/2²+1/3²+...+1/n² +1/(n+1)² < 2-(n)/(n²+n) [ car -n²-1<0 ]
1+1/2²+1/3²+...+1/n² +1/(n+1)² < 2-1/(n+1)
donc P(n+1) est vraie
on suppose que P(n) est vraie
donc il existe n tel que :
1+1/2²+1/3²+...+1/n² < 2-1/n
1+1/2²+1/3²+...+1/n² +1/(n+1)² < 2-1/n+1/(n+1)²
1+1/2²+1/3²+...+1/n² +1/(n+1)² < 2+(n-(n+1)²)/(n(n+1))
1+1/2²+1/3²+...+1/n² +1/(n+1)² < 2+(-n²-n-1)/(n²+n)
1+1/2²+1/3²+...+1/n² +1/(n+1)² < 2-(n)/(n²+n) [ car -n²-1<0 ]
1+1/2²+1/3²+...+1/n² +1/(n+1)² < 2-1/(n+1)
donc P(n+1) est vraie