Website Statistics Bonjour je suis en classe de terminale jai un dm sur les suites à faire cependant jai pas mal de difficultés et de doutes quelquun pourrait il maider Voici léno
résolu

Bonjour je suis en classe de terminale, j'ai un dm sur les suites à faire, cependant j'ai pas mal de difficultés et de doutes... quelqu'un pourrait il m'aider ? Voici l'énoncé : 

1.etude d'un cas particulier. 
Désirant acheter une maison, un particulier effectue sur Internet une simulation de crédit. voici le tableau obtenu : 
   montant du prêt                   : 150 000 euro 
   durée de remboursement            : 240 mois 
   taux effectif global, taux annuel : 4,72 % 
   mensualité avec assurance         : 979,36 euro 

On note Cn le capital restant dû à la banque à la fin de la n-ième année. Ainsi C0=150000. 

a) quel est le montant des intérêts appliqués à C0 ? 
b)Calculer C1 et C2 (arrondir si besoin au centième). 
c) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n : Cn+1 = 1,0472Cn -11752,32
d) quelle est la nature de la suite (Cn) ? 

2. Cas général. 
On se propose de trouver une formule qui permet de calculer une annuité A connaissant un capital emprunté C sur un nombre d'années N à un taux annuel t en pourcentage. On note pour tout nombre entier naturel n, Cn le capital restant dû à la fin de la n-ième année. Ainsi C0=C. 
a) n désigne un nombre entier naturel inférieur à N. Démontrer que  Cn+1=(1+t)Cn-A. 
b) Quelle est la nature de la suite (Cn) ? 
c) Pour tout nombre entier naturel n inférieur à N, on note : 
               vn=Cn-(A/t) 
    Démontrer que la suite v est géométrique. 
d) En déduire que, pour tout nombre entier naturel n inférieur à N : 
     vn=(C-(A/t))(1+t)^n 
e)Exprimer Cn en fonction de n. 
f)Expliquer pourquoi Cn=0 
g)En déduire que : A= Ct(1+t)^n / (1+t)^n - 1
 calculer les mensualite d un credit de 10000 euro sur 3  ans a un taux d effectif global de 5 pourcent

Répondre :

On a donc C(n+1)= (1+t) (Cn -A)
D'autre part Vn= Cn - A/t = (Cn*t - A)/t
D'où V(n+1)= (C(n+1)t -A)/t
Les deux expressions sont donc divisées par t et comme le but est de diviser l'une par l'autre, on ne va pas s'occuper du t: ça simplifiera l'écriture.
Dans l'expression V(n+1)= (C(n+1)t -A) on va remplacer C(n+1) par sa valeur en fonction de Cn.
Ca va donner au Bout V(n+1)=Cn*t^2 + t(Cn-A) - A
On va chercher les racines de cette expression pour la factoriser.
delta= (Cn-A)^2 +4A*Cn= Cn^2+A^2-2A*Cn+4A*Cn
Ce qui donne delta= (Cn+A)^2
On calcule les racines et ça donne t=A/Cn et t=-1
On factorise selon la formule a(x-x1)*(x-x2)
ce qui donne Cn*(t - A/Cn)*(t+1) = (t*Cn-A)*(t+1)
et là quand on divise par Vn ça donne bien t+1
Voilà.

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