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résolu

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour un DM de maths pour demain! Merci d'avance
ABCD est un rectangle tel que AB=20m et AD=10m. M est un point quelconque du segment [AB].
On pose X=AM         X E [0,20].
On construit le quadrilatère MNOP tel que AM=OC=X et AP=CN=0.5X.

1°) Comparer vecteur AM et vecteur OC ;
     Vecteur PA et vecteur CN. En déduire que vecteur PM= vecteur ON.
Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère MNOP ?

2°) On note f(X) l'aire de MNOP. Montrer que f(X)= -X²+20X.

3°) Ecrire la forme canonique de f(X)/ En déduire la place du point M pour que l'aire de MNOP soit maximale.

Répondre :

1) On a AM(x,0) et OC(20-20+x,10-10)=OC(x,0) , donc AM(x,0)=OC(x,0)
PA(0,-x/2) et CN(20-20,10-x/2-10)=CN(0,-x/2), donc PA(0,-x/2)=CN(0,-x/2)
donc PM=PA+AM=CN+OC=ON , donc le quadrilatère MNOP est un parralèlogramme.
2) f(x)=aire ABCD - aire APD - aire CNO - aire DPO - aire BMN = 10 x 20 - 1/2 x x/2 - 1/2 x x/2 -1/2 (20-x)(10-x/2) -1/2 (20-x)(10-x/2) = 200 -(x^2)/2 -200+20x/2 +10x/2 -(x^2)/2 = -x^2 + 20 x
3) f(x) = -(x^2-20x)=-(x^2-20x+100-100)=-(x^2-20x+100)+100= 100-(x-10)^2
f(x) est maximale si x-10 = 0 donc si x = 10, pour x=10 l'aire de MNOP = 100 m^2

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