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Bonjour,
1)On sait que (EH) et (AB) sont perpendiculaires (en effet, dans un triangle équilatéral, la médiane et la hauteur issues d'un sommet sont confondues) ; le triangle EAH est rectangle en H, d'où :
[tex]EA^2 = AH^2+EH^2\\ EH = \sqrt{EA^2-AH^2 } = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex]
Même chose pou KF, qui a donc la même longueur.
3)Je suis d'accord avec tes résultats. Je pense qu'il ne faut pas forcément justifier quand les résultats sont évidents, mais on peut faire, par exemple, pour le point E :
On a (EH) // (AD) et
[tex]EH = \frac {\sqrt 3}2 [/tex]
et (AH) // (AB) et AH = 1/2 et (EH) et (AH) perpendiculaires.
On en déduit les coordonnées du point E.
Je suis d'accord avec tes résultats, sauf pour D(0;1).
4)Calculons les coordonnées des vecteurs DE et EF.
[tex]\vec{DE} \left(\begin{array}{c}x_E - x_D\\ y_E-y_D}\end{array}\right)\\ \vec{DE} \left(\begin{array}{c}\frac12 -0\\ \frac{\sqrt 3}{2}-1}\end{array}\right)\\ \vec{DE} \left(\begin{array}{c}\frac12\\ \frac{\sqrt 3}{2}-1}\end{array}\right)\\[/tex]
[tex]\vec{EF} \left(\begin{array}{c}x_F - x_E\\ y_F-y_E}\end{array}\right)\\ \vec{EF} \left(\begin{array}{c}1+\frac{\sqrt3 }{2}- \frac 12 \\ \frac 12-\frac{\sqrt 3}{2}}\end{array}\right)\\ \vec{EF} \left(\begin{array}{c}\frac 12+\frac{\sqrt3 }{2} \\ \frac 12-\frac{\sqrt 3}{2}}\end{array}\right)[/tex]
Deux vecteurs u(x,y) et v(x',y') (avec les flèches) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées vérifient :
xy'-y'x = 0
On calcule :
[tex]\frac 12 \left(\frac 12 - \frac{\sqrt 3}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt 3}{2} -1\right)\left(\frac 12 + \frac{\sqrt 3}{2}\right) = \frac 14 - \frac{\sqrt 3}{4} - \left(\frac{\sqrt 3}{4}+\frac 34 -\frac 12 -\frac{\sqrt 3}{2}\right)\\ =\frac 14 -\frac{\sqrt 3}{4} -\left(-\frac{\sqrt 3}{4}+\frac 14\right) = 0[/tex]
Les vecteurs DE et EF (avec les flèches) sont colinéaires ; les points D, E et F sont alignés.
Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.
1)On sait que (EH) et (AB) sont perpendiculaires (en effet, dans un triangle équilatéral, la médiane et la hauteur issues d'un sommet sont confondues) ; le triangle EAH est rectangle en H, d'où :
[tex]EA^2 = AH^2+EH^2\\ EH = \sqrt{EA^2-AH^2 } = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex]
Même chose pou KF, qui a donc la même longueur.
3)Je suis d'accord avec tes résultats. Je pense qu'il ne faut pas forcément justifier quand les résultats sont évidents, mais on peut faire, par exemple, pour le point E :
On a (EH) // (AD) et
[tex]EH = \frac {\sqrt 3}2 [/tex]
et (AH) // (AB) et AH = 1/2 et (EH) et (AH) perpendiculaires.
On en déduit les coordonnées du point E.
Je suis d'accord avec tes résultats, sauf pour D(0;1).
4)Calculons les coordonnées des vecteurs DE et EF.
[tex]\vec{DE} \left(\begin{array}{c}x_E - x_D\\ y_E-y_D}\end{array}\right)\\ \vec{DE} \left(\begin{array}{c}\frac12 -0\\ \frac{\sqrt 3}{2}-1}\end{array}\right)\\ \vec{DE} \left(\begin{array}{c}\frac12\\ \frac{\sqrt 3}{2}-1}\end{array}\right)\\[/tex]
[tex]\vec{EF} \left(\begin{array}{c}x_F - x_E\\ y_F-y_E}\end{array}\right)\\ \vec{EF} \left(\begin{array}{c}1+\frac{\sqrt3 }{2}- \frac 12 \\ \frac 12-\frac{\sqrt 3}{2}}\end{array}\right)\\ \vec{EF} \left(\begin{array}{c}\frac 12+\frac{\sqrt3 }{2} \\ \frac 12-\frac{\sqrt 3}{2}}\end{array}\right)[/tex]
Deux vecteurs u(x,y) et v(x',y') (avec les flèches) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées vérifient :
xy'-y'x = 0
On calcule :
[tex]\frac 12 \left(\frac 12 - \frac{\sqrt 3}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt 3}{2} -1\right)\left(\frac 12 + \frac{\sqrt 3}{2}\right) = \frac 14 - \frac{\sqrt 3}{4} - \left(\frac{\sqrt 3}{4}+\frac 34 -\frac 12 -\frac{\sqrt 3}{2}\right)\\ =\frac 14 -\frac{\sqrt 3}{4} -\left(-\frac{\sqrt 3}{4}+\frac 14\right) = 0[/tex]
Les vecteurs DE et EF (avec les flèches) sont colinéaires ; les points D, E et F sont alignés.
Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.