Website Statistics On considère la suite Un Uo 0 et pour tout entier n Un1 3Un2n31 Calculer U1 et U22 aDémontrer par récurrence que pour tout entier naturel n Un gt ou égal à n b
mamissenb
résolu

On considère la suite (Un) Uo= 0 et, pour tout entier n, Un+1= 3Un-2n+3
1. Calculer U1 et U2
2. a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un > ou égal à n
    b. En déduire la suite de la limite (Un)
3. Démontrer que la suite est croissante.
4. Soit la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn= Un-n+1
    a. Démonter que la suite (Vn) est une suite géométrique.
    b. En deduire que, pour tout entier naturel n, Un= 3^n+n-1
5. Soit p un entier naturel non nul.
    a. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier no tel que, pour tout n > ou égal no Un > ou égal à 10^p
      On s'interesse maintenant au plus petit entier no
    b. Justifier que no< ou égal 3p
    c. Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier no pour la valeur p=3
    d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier no tel que pour tout n > ou égal, no, on ait Un > ou égal 10^p 

^ : Puissance

Merci de votre d'aide

Répondre :

miniatio
1.  Un+1=3Un-2n+3 on sait que U0=0  alors
U1=3*0-2*0+3
U1=3

U2=3*3-2*1+3
U2=4 

Initialisation: D'apres l'énoncé on sait que U0=0
On démontre que la la propriété est vraie pour la 1ere valeur possible de n.
On suppose que la propriété est vraie par un entier p[tex] \geq 0[/tex] c'est à dire Up \geq p

On démontre que la propriété reste vraie par l'entier p+1[tex] \geq 0[/tex]
Up+1 =3Un-2n+3

Up[tex] \geq [/tex] p
3up \geq  3p
3Up-2p  \geq 3p-2p
3Up-2p+3  \geq p+3

La propriété est vrai pour n=0 et est hereditaire, elle est donc vraie pour tout n.

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