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Bonsoir,
2) a) Tu fais construire les graphiques définis par y = x³ et y = 2x - 1.
Tu en demandes les coordonnées des points d'intersections.
b) Les abscisses de ces points sont -1 ; -0,618... et 1,618...
4) a) Si x est le nombre cherché, alors le cube de x est x³ et le double du nombre augmenté de 1 est 2x + 1.
Puisque ces deux nombres sont égaux, on les trouvera en résolvant l'équantion : x³ = 2x + 1 (avec x > 0 puisque l'énoncé cite des réels positifs)
b) Développons (x + 1)(x² - x - 1)
(x + 1)(x² - x - 1) = x³ - x² - x + x² - x - 1
(x + 1)(x² - x - 1) = x³ - x - 1.
c) x³ - x - 1 = 0 (avec x > 0)
(x + 1)(x² - x - 1) = 0 (avec x > 0)
x + 1 = 0 ou x² - x - 1 = 0 (avec x > 0)
La première équation donnerait x = -1 (à rejeter car -1 est négatif).
Il reste donc la seconde équation à résoudre : x² - x - 1 = 0 (avec x > 0)
d) Il faut vérifier que x² - x - 1 = (x - 1/2)² - 5/4
Développons (x - 1/2)² - 5/4.
(x - 1/2)² - 5/4 = (x² - x + 1/4) - 5/4
(x - 1/2)² - 5/4 = x² - x + 1/4 - 5/4
(x - 1/2)² - 5/4 = x² - x - 4/4
(x - 1/2)² - 5/4 = x² - x - 1.
Par conséquent, x² - x - 1 = 0 (avec x > 0) est équivalent à (x - 1/2)² - 5/4 = 0 (avec x > 0)
(x - 1/2)² - 5/4 = 0
[tex](x - \dfrac{1}{2})^2 - (\dfrac{\sqrt{5}}{2})^2 = 0\\\\\ [(x - \dfrac{1}{2}) - \dfrac{\sqrt{5}}{2}][(x - \dfrac{1}{2}) + \dfrac{\sqrt{5}}{2}]=0\\\\\ [x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}][x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}]=0\\\\\ x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}=0\ \ ou\ \ x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}=0\\\\\ x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}\ \ ou\ \ x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}\\\\\ x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\ \ ou\ \ x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]
Or [tex]x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618\ \ et\ \ x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618 [/tex]
Comme x doit être positif, nous avons [tex]x\approx 1,618[/tex]
2) a) Tu fais construire les graphiques définis par y = x³ et y = 2x - 1.
Tu en demandes les coordonnées des points d'intersections.
b) Les abscisses de ces points sont -1 ; -0,618... et 1,618...
4) a) Si x est le nombre cherché, alors le cube de x est x³ et le double du nombre augmenté de 1 est 2x + 1.
Puisque ces deux nombres sont égaux, on les trouvera en résolvant l'équantion : x³ = 2x + 1 (avec x > 0 puisque l'énoncé cite des réels positifs)
b) Développons (x + 1)(x² - x - 1)
(x + 1)(x² - x - 1) = x³ - x² - x + x² - x - 1
(x + 1)(x² - x - 1) = x³ - x - 1.
c) x³ - x - 1 = 0 (avec x > 0)
(x + 1)(x² - x - 1) = 0 (avec x > 0)
x + 1 = 0 ou x² - x - 1 = 0 (avec x > 0)
La première équation donnerait x = -1 (à rejeter car -1 est négatif).
Il reste donc la seconde équation à résoudre : x² - x - 1 = 0 (avec x > 0)
d) Il faut vérifier que x² - x - 1 = (x - 1/2)² - 5/4
Développons (x - 1/2)² - 5/4.
(x - 1/2)² - 5/4 = (x² - x + 1/4) - 5/4
(x - 1/2)² - 5/4 = x² - x + 1/4 - 5/4
(x - 1/2)² - 5/4 = x² - x - 4/4
(x - 1/2)² - 5/4 = x² - x - 1.
Par conséquent, x² - x - 1 = 0 (avec x > 0) est équivalent à (x - 1/2)² - 5/4 = 0 (avec x > 0)
(x - 1/2)² - 5/4 = 0
[tex](x - \dfrac{1}{2})^2 - (\dfrac{\sqrt{5}}{2})^2 = 0\\\\\ [(x - \dfrac{1}{2}) - \dfrac{\sqrt{5}}{2}][(x - \dfrac{1}{2}) + \dfrac{\sqrt{5}}{2}]=0\\\\\ [x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}][x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}]=0\\\\\ x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}=0\ \ ou\ \ x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}=0\\\\\ x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}\ \ ou\ \ x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}\\\\\ x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\ \ ou\ \ x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]
Or [tex]x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618\ \ et\ \ x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618 [/tex]
Comme x doit être positif, nous avons [tex]x\approx 1,618[/tex]