Répondre :
Pour tout entier relatif m, on considère la fonction fm définie sur R* par fm(x)=x-1+m/x
1) Quelle est la nature de f0 ?
f0(x)=x-1
donc f0 est une fonction affine
2) Dans la suite, m différent de 0.
a. Déterminer les limites en - ∞ et + ∞ de fm.
fm(x)=(x²-x+m)/x
d'après le th de D'alembert, lim(f,- ∞)=- ∞ et lim(f,+ ∞)=+ ∞
b. Selon le signe de m, étudier la limite de fm en 0 (à gauche et à droite).
si m<0 alors lim(f,0-)=+ ∞
si m>0 alors lim(f,0-)=- ∞
si m<0 alors lim(f,0+)=- ∞
si m>0 alors lim(f,0+)=+ ∞
3) Calculer f'm(x) et, selon le signe de m, déterminer le sens de variation de fm.
f'm(x)=1-m/x²
=(x²-m)/x²
fm est croissante sur ]-inf;-rac(m)] et sur [rac(m);+inf[
fm est décroissante sur [-rac(m);rac(m)]