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Bonsoir
[tex] (2x + 1)e^{-x} + 2=2xe^{-x}+e^{-x}+2[/tex]
[tex]\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int[2xe^{-x}+e^{-x}+2)dx\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int2xe^{-x}dx+\int e^{-x}dx+\int2dx[/tex]
Une primitive de [tex]e^{-x}[/tex] est [tex]-e^{-x}[/tex]
Une primitive de 2 est 2x.
Calcul d'une primitive de [tex]2xe^{-x}[/tex]
Calculons-la par parties en utilisant la formule [tex]\int fg'=fg-\int f'g[/tex]
f(x) = 2x ==> f'(x)=2
[tex]g'(x)=e^{-x}[/tex] ==> [tex]g(x)=-e^{-x}[/tex]
Donc nous avons :
[tex]\int 2xe^{-x}dx=2x\times(-e^{-x})-\int 2\times (-e^{-x})dx\\\\\int 2xe^{-x}dx=2x\times(-e^{-x})+2\int e^{-x}dx[/tex]
Comme une primitive de [tex]e^{-x}[/tex] est[tex] -e^{-x}[/tex], nous avons :
[tex]\int 2xe^{-x}dx=-2xe^{-x}-2e^{-x}+k[/tex]
Par conséquent :
[tex]\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int2xe^{-x}dx+\int e^{-x}dx+\int2dx\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=(-2xe^{-x}-2e^{-x})-e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=-2xe^{-x}-3e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=(-2x-3)e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=2x-(2x+3)e^{-x}+K[/tex]
[tex] (2x + 1)e^{-x} + 2=2xe^{-x}+e^{-x}+2[/tex]
[tex]\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int[2xe^{-x}+e^{-x}+2)dx\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int2xe^{-x}dx+\int e^{-x}dx+\int2dx[/tex]
Une primitive de [tex]e^{-x}[/tex] est [tex]-e^{-x}[/tex]
Une primitive de 2 est 2x.
Calcul d'une primitive de [tex]2xe^{-x}[/tex]
Calculons-la par parties en utilisant la formule [tex]\int fg'=fg-\int f'g[/tex]
f(x) = 2x ==> f'(x)=2
[tex]g'(x)=e^{-x}[/tex] ==> [tex]g(x)=-e^{-x}[/tex]
Donc nous avons :
[tex]\int 2xe^{-x}dx=2x\times(-e^{-x})-\int 2\times (-e^{-x})dx\\\\\int 2xe^{-x}dx=2x\times(-e^{-x})+2\int e^{-x}dx[/tex]
Comme une primitive de [tex]e^{-x}[/tex] est[tex] -e^{-x}[/tex], nous avons :
[tex]\int 2xe^{-x}dx=-2xe^{-x}-2e^{-x}+k[/tex]
Par conséquent :
[tex]\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int2xe^{-x}dx+\int e^{-x}dx+\int2dx\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=(-2xe^{-x}-2e^{-x})-e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=-2xe^{-x}-3e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=(-2x-3)e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=2x-(2x+3)e^{-x}+K[/tex]