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[tex]y(x)=xe^{-x}\\\\y'(x)=x'e^{-x}+x(e^{-x})'\\\\y'(x)=1\times e^{-x}+x\times(-e^{-x})\\\\y'(x)=e^{-x}-xe^{-x}\\\\y'(x)=(1-x)e^{-x}[/tex]
Testons les 4 propositions en transformant les membres de droite et en vérifiant si les résultats sont égaux à y'.
[tex]A.\ y+e^{-x}=xe^{-x}+e^{-x}=(x+1)e^{-x}\neq y'\\\\B.\ (1+x)y=(1+x)xe^{-x}\neq y'\\\\C.\ (1-x)y=(1-x)xe^{-x}\neq y'\\\\D.\ -y+e^{-x}=-xe^{-x}+e^{-x}=(-x+1)e^{-x}=(1-x)e^{-x}=y'[/tex]
L'équation différentielle satisfaite par y(x) = xe^(-x) est la D, soit y' = -y + e^(-x)
Testons les 4 propositions en transformant les membres de droite et en vérifiant si les résultats sont égaux à y'.
[tex]A.\ y+e^{-x}=xe^{-x}+e^{-x}=(x+1)e^{-x}\neq y'\\\\B.\ (1+x)y=(1+x)xe^{-x}\neq y'\\\\C.\ (1-x)y=(1-x)xe^{-x}\neq y'\\\\D.\ -y+e^{-x}=-xe^{-x}+e^{-x}=(-x+1)e^{-x}=(1-x)e^{-x}=y'[/tex]
L'équation différentielle satisfaite par y(x) = xe^(-x) est la D, soit y' = -y + e^(-x)