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résolu

Svp besoin d'aide DM a rendre demain première heure 

Connaissances mies en oeuvre : égalité de pythagore, parallélogrammes particuliers, théorème de thalès et sa réciproque

ABC est un triangle tel que AB = 4,2 cm, AC = 5,6 cm et BC = 7 cm
On a M appartient à [BC]
P appartient à [BA]
Q appartient à [AC]

On veut connaître la position du point M sur le segment [BC] pour que l'aire du quadrilatère APMQ soit maximale.

PARTIE C

Dans cette partie on note x la longueur BM en centimètres.
1)a) Expliquer pourquoi 0 < ou égal x < ou égal 7
b) Quelle est l'aire du rectangle APMQ lorsque x=0? lorsque x=7?
2)a) Exprimer en fonction de x les longueurs BP et PM
b) En déduire en fonction de x la longueur AP.
3)a) Pour quelle valeur de x le rectangle APMQ est-il un carré
b) Construire en vraie grandeur la figure correspondant à ce cas.
4) On note A(x) l'aire du rectangle APMQ exprimée en centimètres carrés.
Justifier que A(x) = 3,36x - 0,48x²

Répondre :

Bonsoir,
 
1a) Si M est sur le point B, alors BM = x = 0
Si M est sur le point C, alors BM = x = 7
Si M est entre B et C, alors 0 < x < 7.

Donc 0 ≤ x ≤ 7.

b) Dans les deux cas, l'aire du quadrilatère APMQ est nulle.

2a) Par Thalès dans le triangle ABC, nous avons : 

[tex]\dfrac{PB}{AB}=\dfrac{BM}{BC}\\\\\dfrac{PB}{4,2}=\dfrac{x}{7}\\\\PB = 4,2\times \dfrac{x}{7}\\\\PB=0,6x[/tex]

De même, 

[tex]\dfrac{PM}{AC}=\dfrac{BM}{BC}\\\\\dfrac{PM}{5,6}=\dfrac{x}{7}\\\\PM = 5,6\times \dfrac{x}{7}\\\\PM=0,8x[/tex]

b) [tex]AP=AB-PB[/tex]

[tex]AP = 4,2-0,6x[/tex]

3) a ) Le quadrilatère APMQ est un carré si :

[tex]MP=AB\\\\0,8x=4,2-0,6x\\\\0,8x+0,6x=4,2\\\\1,4x=4,2\\\\x=3\ (cm)[/tex]

4) L'aire d'un rectangle = Longueur x largeur.

[tex]A(x) = AP\times PM\\\\A(x) = (4,2-0,6x)\times 0,8x\\\\A(x) = 4,2\times 0,8x - 0,6x\times 0,8x\\\\A(x) = 3,36x-0,48x^2[/tex]

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