Dans une zone de marrais, on d'intéresse à la population de grenouilles. On note P0 la population initiale et Pn la population au bout de n année

Des études ont permis de modéliser l'évolution de la population des grenouilles Pn par la relation :

Pn+2-Pn+1= 1/2(Pn+1-Pn) avec P0= 40 000
P1= 60 000

On définit l'accroissement de la population pendant la n-ième année par: Pn - Pn-1

1) Calculer l'accroissement de la population pendant la première année, puis la deuxième année, puis la troisième année m. En déduire P2 et P3

2) Pn considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel par :

Un=Pn+1 - Pn et Vn= Pn+1 - 1/2Pn

A. montre que la suite (Un) est géométrique ( on précisera sa raison et on calculera son premier terme)

B. Exprimer Un en fonction de n

C. Calculer Vn+1 - Vn et en déduire que, pour tout entier naturel, on a: Vn= P1 - 1/2P0. Calculer alors Vn

D.Démontrer que, pour tout entier naturel, on a: Pn= 2(Vn-Un). En déduire une expression de Pn en fonction de n.

E. Déterminer la limite de la suite de la suite (Pn) et en donner une interprétation concrète.

Bonsoir,

1) Accroissement pendant la 1ère année : [tex]P_1-P_0=60000-40000=20000[/tex]
Accroissement pendant la 2ème année :
[tex]P_2-P_1=\dfrac{1}{2}(P_1-P_0)=\dfrac{1}{2}\times 20000 = 10000[/tex]
Accroissement pendant la 3ème année :
[tex]P_3-P_2=\dfrac{1}{2}(P_2-P_1)=\dfrac{1}{2}\times 10000 = 5000[/tex]

[tex]\dfrac{1}{2}(P_2-P_1)= 5000\Longrightarrow P_2-P_1=10000\\\\\Longrightarrow P_2=10000+P_1\\\Longrightarrow P_2=10000+60000\\\Longrightarrow P_2=70000[/tex]

[tex]P_3-P_2= 5000\Longrightarrow P_3=5000+P_2\\\Longrightarrow P_3=5000+70000\\\Longrightarrow P_3=75000[/tex]

2) A)

[tex]U_{n+1}=P_{n+2}-P_{n+1}\\\\U_{n+1}=\dfrac{1}{2}(P_{n+1}-P_{n})\\\\U_{n+1}=\dfrac{1}{2}U_n[/tex]

La suite (Un) est géométrique de raison [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] et de premier terme égal à [tex]U_0=P_1-P_0=20000[/tex]

B) [tex]U_n=U_0\times(\dfrac{1}{2})^n\Longrightarrow U_n=20000(\dfrac{1}{2})^n[/tex]

C) [tex]V_{n+}-V_n=[P_{n+2}-\dfrac{1}{2}P_{n+1}]-[P_{n+1}-\dfrac{1}{2}P_{n}][/tex]

[tex]V_{n+}-V_n=[P_{n+2}-P_{n+1}]-\dfrac{1}{2}P_{n+1}+\dfrac{1}{2}P_{n}\\\\V_{n+}-V_n=\dfrac{1}{2}(P_{n+1}-P_{n})-\dfrac{1}{2}P_{n+1}+\dfrac{1}{2}P_{n}\\\\V_{n+}-V_n=\dfrac{1}{2}P_{n+1}-\dfrac{1}{2}P_{n}-\dfrac{1}{2}P_{n+1}+\dfrac{1}{2}P_{n}\\\\V_{n+}-V_n=0[/tex]

La suite (Vn) est donc constante.

D'où,

[tex]V_n=V_0\\\\V_n=P_1-\dfrac{1}{2}P_0\\\\V_n=60000-\dfrac{1}{2}\times 40000\\\\V_n=40000[/tex]

D) [tex]2(V_n-U_n)=2[(P_{n+1}-\dfrac{1}{2}P_n)-(P_{n+1}-P_n)][/tex]

[tex]2(V_n-U_n)=2[P_{n+1}-\dfrac{1}{2}P_n-P_{n+1}+P_n]\\\\2(V_n-U_n)=2\times \dfrac{1}{2}P_n\\\\2(V_n-U_n)=P_n[/tex]

[tex]P_n=2[40000-20000\times(\dfrac{1}{2})^n][/tex]

Sachant que [tex]\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{2})^n=0[/tex], on en déduit que

[tex]\lim_{n\to +\infty}P_n=2(40000-0)\\\\\lim_{n\to +\infty}P_n=80000.[/tex]

Par conséquent la population de grenouilles se stabilisera vers 80000 grenouilles.