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Bonjour
Si a ≡ b [m], alors a^n ≡ b^n [m]
On peut le démontrer par récurrence sur n.
a) Initialisation : Si n = 1, la propriété (Si a ≡ b [m], alors a^1 ≡ b^1 [m]) est évidemment vraie.
b) Hérédité : Supposons que pour k ≥ 0, a^k ≡ b^k [m],
alors démontrons que a^(k+1) ≡ b^(k+1) [m]
En effet, en utilisant la compatibilité de la multiplication pour la congruence modulo m, nous avons :
a^k ≡ b^k [m] ==> a^k * a ≡ b^k * b [m]
==> a^(k+1) ≡ b^(k+1) [m]
Rem. : la compatibilité de la multiplication pour la congruence modulo m signifie que si a ≡ b [m] et c ≡ d [m], alors a * c ≡ b * d [m].
Si a ≡ b [m], alors a^n ≡ b^n [m]
On peut le démontrer par récurrence sur n.
a) Initialisation : Si n = 1, la propriété (Si a ≡ b [m], alors a^1 ≡ b^1 [m]) est évidemment vraie.
b) Hérédité : Supposons que pour k ≥ 0, a^k ≡ b^k [m],
alors démontrons que a^(k+1) ≡ b^(k+1) [m]
En effet, en utilisant la compatibilité de la multiplication pour la congruence modulo m, nous avons :
a^k ≡ b^k [m] ==> a^k * a ≡ b^k * b [m]
==> a^(k+1) ≡ b^(k+1) [m]
Rem. : la compatibilité de la multiplication pour la congruence modulo m signifie que si a ≡ b [m] et c ≡ d [m], alors a * c ≡ b * d [m].