Bonsoir tout le monde Voici un ex de maths 3e
ABC est un triangle tel que : AB 4,2 cm, AC 5,6 cm et BC 7 cm. On a M appartient [BC] P appartient [BA] et Q appartient [AC]
Parti A :
1- justifier que le triangle ABC est rectangle
2- en déduire la nature du quadrilatère APMQ
Parti B :
Dans cette partie, on suppose que BM = 2,5 cm
1- calculer les longueur BP et PM
2- Calculer l'Aire su rectangle APMQ
Parti C :
Dans cette parti on note x la longueur BM en cm
1-a) expliquer pourquoi on a 0<x<7
b) quelle est l'Aire du rectangle APMQ lorsque x=0? Lorsque x= 7?
2- a) exprime en fonction de x les longueurs BP et PM
b. en déduire en fonction de x la longueur AP
3-a) pour quelle valeur de x le rectangle APMQ est il un carré ?
4 on note A(x) l'Aire du rectangle APMQ exprimée en cm carré Justifier que A(x)=3,36x-0,48x(au carré)
4 a. Par lecture graphique trouver les valeur de x pour les qu'elles l'Aire du rectangle APMQ est de 3 cm carré
b) par lecture du graphique trouver la valeur de x pour laquelle l'aire de rectangle APMQ est maximale . Quelle est alors la position du point M sur le segment BC ? Dans ce cas calculer la valeur exacte de l'aire du rectangle APMQ .
Je vos joins la photo de l'ex
Merci beaucoup d'avance

Bonsoir,

Partie A

1) AB² + AC² = 4,2² + 5,6² = 49
BC² = 7² = 49
==> AB² + AC² = BC².
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

2) Le quadrilatère AMPQ est un parallélogramme ayant un angle droit.
C'est donc un rectangle.

Partie B.

1) Par Thalès dans le triangle ABC, nous avons :

[tex]\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BP}{BA}=\dfrac{PM}{AC}\\\\\dfrac{2,5}{7}=\dfrac{BP}{4,2}=\dfrac{PM}{5,6}[/tex]

D'où : [tex]BP=4,2\times\dfrac{2,5}{7}\Longrightarrow BP=1,5\ cm[/tex]

[tex]PM=5,6\times\dfrac{2,5}{7}\Longrightarrow PM=2\ cm[/tex]

2) L'aire du rectangle APMQ = AP * PM
= (4,2 - 1,5) * 2
= 2,7 * 2 = 5,4 cm²

Partie C.

1) a) Si M et B coïncident, alors x = BM = 0
Si M et C coïncident, alors x = BM = 7
Si M est entre B et c, 0 < x < 7.

Donc 0 ≤ x ≤ 7.

b) L'aire du rectangle APMQ est nulle puisqu'une de ses deux dimensions est nulle dans chaque cas.

2) a ) Par Thalès dans le triangle ABC, nous avons :

1) a) Si M et B coïncident, alors x = BM = 0
Si M et C coïncident, alors x = BM = 7
Si M est entre B et c, 0 < x < 7.

Donc 0 ≤ x ≤ 7.

b) L'aire du rectangle APMQ est nulle puisqu'une de ses deux dimensions est nulle dans chaque cas.

2) a ) Par Thalès dans le triangle ABC, nous avons :

1) a) Si M et B coïncident, alors x = BM = 0
Si M et C coïncident, alors x = BM = 7
Si M est entre B et c, 0 < x < 7.

Donc 0 ≤ x ≤ 7.

b) L'aire du rectangle APMQ est nulle puisqu'une de ses deux dimensions est nulle dans chaque cas.

2) a ) Par Thalès dans le triangle ABC, nous avons :

[tex]\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BP}{BA}=\dfrac{PM}{AC}\\\\\dfrac{x}{7}=\dfrac{BP}{4,2}=\dfrac{PM}{5,6}[/tex]

D'où : [tex]BP=4,2\times\dfrac{x}{7}\Longrightarrow BP=0,6x[/tex]

[tex]PM=5,6\times\dfrac{x}{7}\Longrightarrow PM=0,8x[/tex]

b) AP = AB - BP = 4,2 - 0,6x.

3) APMQ est un rectangle si PM = AP

0,8x = 4,2 - 0,6x
1,4x = 4,2
x = 0,3.

4) A(x) = AP * PM
A(x) = (4,2 - 0,6x) * 0,8x
A(x) = 4,2 * 0,8x - (0,6x) * (0,8x)
A(x) = 3,36x - 0,48x²

4)a) A(1) = 3 et A(6) = 3
Les valeurs de x pour lesquelles l'aire du rectangle APMQ vaut 3 cm² sont x = 1 (cm) et x = 6 (cm).

b) L'aire du rectangle est maximale si x = 3,5 (cm).
Le point M est alors au milieu du segment [BC].

L'aire du rectangle vaudra : A(3,5) = 3,36*3,5 - 0,48*(3,5)² = 5,88 cm².