Répondre :
f(x)=e^x-x-1
1) f'(x)=e^x-1
si x<0 alors e^x<e^0 donc f'(x)<0
si x>0 alors f'(x)>0
donc f est décroissante sur ]-inf;0] et croissante sur [0;+inf[
donc f admet un minimum en f(0)=0
donc pour tout réel x : f(x)>=0
donc pour tout réel x : e^x>=x+1
2) pour tout réel x : e^(-x)>=1-x
donc 1/e^x>=1-x
donc pour tout réel x : e^x<=1/(1-x)
3) a) on sait que e^x>=x+1
on pose x=1/n
donc e^(1/n)>=1+1/n
donc (e^(1/n))^n>=(1+1/n)^n
donc e>=(1+1/n)^n
3) b) on sait que e^x<=1/(1-x)
on pose x=1/(n+1)
donc e^(1/(n+1))<=1/(1-1/(n+1))
donc (e^(1/(n+1))^(n+1)<=(1/(1-1/(n+1)))^(n+1)
donc e<=((n+1)/n)^(n+1)
donc e<=(1+1/n)^(n+1)
4) a) on pose u(n)=(1+1/n)^n
d'après ce qui précède :
u(n)<=e et (1+1/n)*u(n)>=e
donc e-u(n)>0 et e-u(n)<=1/n*u(n)
or u(n)<=3
donc 0<e-u(n)<=3/n
4) b) on a lim(0)=0 et lim(3/n)=0
d'après le th des gendarmes : lim(e-u(n))=0
donc : lim(u(n))=e
ainsi la suite (u(n)) converge vers e
1) f'(x)=e^x-1
si x<0 alors e^x<e^0 donc f'(x)<0
si x>0 alors f'(x)>0
donc f est décroissante sur ]-inf;0] et croissante sur [0;+inf[
donc f admet un minimum en f(0)=0
donc pour tout réel x : f(x)>=0
donc pour tout réel x : e^x>=x+1
2) pour tout réel x : e^(-x)>=1-x
donc 1/e^x>=1-x
donc pour tout réel x : e^x<=1/(1-x)
3) a) on sait que e^x>=x+1
on pose x=1/n
donc e^(1/n)>=1+1/n
donc (e^(1/n))^n>=(1+1/n)^n
donc e>=(1+1/n)^n
3) b) on sait que e^x<=1/(1-x)
on pose x=1/(n+1)
donc e^(1/(n+1))<=1/(1-1/(n+1))
donc (e^(1/(n+1))^(n+1)<=(1/(1-1/(n+1)))^(n+1)
donc e<=((n+1)/n)^(n+1)
donc e<=(1+1/n)^(n+1)
4) a) on pose u(n)=(1+1/n)^n
d'après ce qui précède :
u(n)<=e et (1+1/n)*u(n)>=e
donc e-u(n)>0 et e-u(n)<=1/n*u(n)
or u(n)<=3
donc 0<e-u(n)<=3/n
4) b) on a lim(0)=0 et lim(3/n)=0
d'après le th des gendarmes : lim(e-u(n))=0
donc : lim(u(n))=e
ainsi la suite (u(n)) converge vers e