Website Statistics 1 vérifier que 34561est le carré dun nombre entier 2calculer le produit de quatre autres entiers consécutifs quelle conjecture peut on faire 3 démontrer légalit
aureredu54
résolu

1) vérifier que 3*4*5*6+1est le carré d'un nombre entier. 2)calculer le produit de quatre autres entiers consécutifs, quelle conjecture peut on faire? 3) démontrer l'égalité: 1+x(x-1)(x+1)(x-2)=(x^2-x-1)^2 4) a l'aide de l'égalité de la questions 3 démontrer la conjecture faite a la question 2
voila merci sa fait maintenant 2 semaine que je me prends la tête avec cet exercice et que je n'y comprends rien ....

Répondre :

Bonsoir 

1) 3 * 4 * 5 * 6 + 1 = 360 + 1 = 361 = 19².

2) Si nous calculions le produit de 4 autres entiers consécutifs, nous pourrions supposer que le résultat serait égal à un carré diminué de 1.

3) 1 + x(x-1)(x+1)(x+2) = 1 + x(x²-1)(x+2)
                                 = 1 + (x^3 - x)(x+2)
                                 = 1 + x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x
                                 = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1

(x² + x - 1)² = (x² + x - 1)(x² + x - 1)
             = x^4 + x^3 - x^2 + x^3 + x^2 - x - x^2 - x + 1
             = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1

Donc 1 + x(x-1)(x+1)(x+2) = (x² + x - 1)²

3) Soit x-1 ; x ; x+1 et x+2 les 4 nombres entiers consécutifs, alors l'égalité précente peut s'écrire : (x-1)x(x+1)(x+2) + 1 = (x² + x - 1)²,

soit  (x-1)x(x+1)(x+2) = (x² + x - 1)² - 1, ce qui confirme la conjecture émise en 2).
 

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