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Exercice n° 1
Données :
Triangle ABD rectangle en D.
AB = 10 cm
AD = 8 cm
J ∈ AB et BJ = 4 cm
BJ diamètre de (C) d'où rayon = 4/2 = 2 cm
K ∈ BD
Résolution
Calcul de AD avec le théorème de pythagore
AB² = AD² + BD²
10² = AD² + 8²
100 = AD² + 64
100 - 64 = AD²
√36 = AD²
6 = AD
AD mesure 6 cm.
Calcul de JK avec le théorème de Thalès
BA/BJ = AD/JK
10/4 = 6/JK
JK = (6 x 4 ) / 10 = 2,4
JK mesure 2,4 cm
Calcul de KB avec le théorème de Thalès
JB² = JK² + KB²
4² = 2,4² + KB²
16 = 5,76 + KB²
16 - 5,76 = KB²
√10,24 = KB²
3,2 = KB
KB mesure 3,2 cm
4) Démontrer que BJK est rectangle
Méthode 1 : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre d'un des côtés, alors ce triangle est rectangle.
BJ étant le diamètre du cercle (C) on peut en déduire que BJK est un triangle rectangle.
Méthode 2 : : Si on joint un point du cercle aux extrémités d'un diamètre, alors on obtient un triangle rectangle d'hypoténuse de ce diamètre.
En l'espèce, on joint le point K aux extrémités J et B, diamètre du cercle (C), alors le triangle BJK est rectangle d'hypoténuse de diamètre BJ.
Méthode 3 : Dans un triangle, si le milieu d'un côté est le centre du cercle circonscrit au triangle, alors ce triangle est rectangle.
Dans le triangle BJK, le milieu O est le centre du cercle (C) circonscrit à ce triangle alors BJK est un triangle rectangle.
5) Démontrer que (JK) et (AD) sont parallèles.
On va utiliser la réciproque du théorème de Thalès.
Par hypothèse B, K, D d'une part et B, J, A sont alignés et cecia dans le même ordre.
On calcule que BD/BK = 8/3,2 = 2,5
BA/BJ = 10/4 = 2,5
Donc BD/BK = BA/BJ
Les deux hypothèses de la réciproque du théorème de Thalès étant vérifiées, on en déduit que (JK) // (AD).
Exercice n°2
Données
Cercle de diamètre [AB]. P point quelconque P dans C sauf sur le cercle et sauf sur AB. Tracer AP qui coupe (C) en E. Tracer BP qui coupe (C) en F.
Les points E et F ∈ au cercle (C)
Résolution
1) Figure.
2) démontrer que AFB et AEB sont deux triangles rectangles. Préciser en quels points.
Si on joint un point du cercle aux extrémités d'un diamètre, alors on obtient un triangle rectangle d'hypoténuse de ce diamètre.
Or, F est un point du cercle (C) et joint A et B hypoténuse de (C) alors AFB est un triangle rectangle en F (côté opposé)
Et E est un point du cercle (C) et joint B et A hypoténuse de (C) alors ABE est un triangle rectangle en E (côté opposé).
3) Comment peut on tracer, à la règle non graduée uniquement, la perpendiculaire à (AB) passant par P ? Expliquer et justifier la construction (Il faut penser à l'orthocentre).
On trace la hauteur issue de A et la hauteur issue de B du triangle APB à l'aide d'un compas.
On remarque que ces deux hauteurs sont concourantes.
Leur point d'intersection est nommé orthocentre du triangle APB.
On trace à partir de P une droite passant par l'orthocentre et on obtient le point H perpendiculaire à AB.
Données :
Triangle ABD rectangle en D.
AB = 10 cm
AD = 8 cm
J ∈ AB et BJ = 4 cm
BJ diamètre de (C) d'où rayon = 4/2 = 2 cm
K ∈ BD
Résolution
Calcul de AD avec le théorème de pythagore
AB² = AD² + BD²
10² = AD² + 8²
100 = AD² + 64
100 - 64 = AD²
√36 = AD²
6 = AD
AD mesure 6 cm.
Calcul de JK avec le théorème de Thalès
BA/BJ = AD/JK
10/4 = 6/JK
JK = (6 x 4 ) / 10 = 2,4
JK mesure 2,4 cm
Calcul de KB avec le théorème de Thalès
JB² = JK² + KB²
4² = 2,4² + KB²
16 = 5,76 + KB²
16 - 5,76 = KB²
√10,24 = KB²
3,2 = KB
KB mesure 3,2 cm
4) Démontrer que BJK est rectangle
Méthode 1 : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre d'un des côtés, alors ce triangle est rectangle.
BJ étant le diamètre du cercle (C) on peut en déduire que BJK est un triangle rectangle.
Méthode 2 : : Si on joint un point du cercle aux extrémités d'un diamètre, alors on obtient un triangle rectangle d'hypoténuse de ce diamètre.
En l'espèce, on joint le point K aux extrémités J et B, diamètre du cercle (C), alors le triangle BJK est rectangle d'hypoténuse de diamètre BJ.
Méthode 3 : Dans un triangle, si le milieu d'un côté est le centre du cercle circonscrit au triangle, alors ce triangle est rectangle.
Dans le triangle BJK, le milieu O est le centre du cercle (C) circonscrit à ce triangle alors BJK est un triangle rectangle.
5) Démontrer que (JK) et (AD) sont parallèles.
On va utiliser la réciproque du théorème de Thalès.
Par hypothèse B, K, D d'une part et B, J, A sont alignés et cecia dans le même ordre.
On calcule que BD/BK = 8/3,2 = 2,5
BA/BJ = 10/4 = 2,5
Donc BD/BK = BA/BJ
Les deux hypothèses de la réciproque du théorème de Thalès étant vérifiées, on en déduit que (JK) // (AD).
Exercice n°2
Données
Cercle de diamètre [AB]. P point quelconque P dans C sauf sur le cercle et sauf sur AB. Tracer AP qui coupe (C) en E. Tracer BP qui coupe (C) en F.
Les points E et F ∈ au cercle (C)
Résolution
1) Figure.
2) démontrer que AFB et AEB sont deux triangles rectangles. Préciser en quels points.
Si on joint un point du cercle aux extrémités d'un diamètre, alors on obtient un triangle rectangle d'hypoténuse de ce diamètre.
Or, F est un point du cercle (C) et joint A et B hypoténuse de (C) alors AFB est un triangle rectangle en F (côté opposé)
Et E est un point du cercle (C) et joint B et A hypoténuse de (C) alors ABE est un triangle rectangle en E (côté opposé).
3) Comment peut on tracer, à la règle non graduée uniquement, la perpendiculaire à (AB) passant par P ? Expliquer et justifier la construction (Il faut penser à l'orthocentre).
On trace la hauteur issue de A et la hauteur issue de B du triangle APB à l'aide d'un compas.
On remarque que ces deux hauteurs sont concourantes.
Leur point d'intersection est nommé orthocentre du triangle APB.
On trace à partir de P une droite passant par l'orthocentre et on obtient le point H perpendiculaire à AB.