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Bonsoir,
1) a) Coefficient directeur de la droite (BC) :
[tex]\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_A}=\dfrac{1-0}{0-1}=-1[/tex]
Coefficient directeur de RQ :
[tex]\dfrac{y_Q-y_R}{x_Q-x_R}=\dfrac{a-0}{0-(-1)}=\dfrac{a}{1}=a[/tex]
Puisque a est différent de -1, les droites sont sécantes.
b) Résoudre le système constitué par les équations des deux droites (BC) et (QR).
Comme nous avons trouvé les coefficient directeurs des deux droites et que les ordonnées à l'origine sont connues, nous avons :
(BC) : y = -x + 1
(PQ) : y = ax + a.
ax + a = -x + 1
x + ax = 1 - a
(1 + a)x = 1 -a.
[tex]x=\dfrac{1-a}{1+a}[/tex]
[tex]y=-x+1=-\dfrac{1-a}{1+a}+1=\dfrac{-1+a}{1+a}+1=\dfrac{-1+a}{1+a}+\dfrac{1+a}{1+a}=\dfrac{2a}{1+a}[/tex]
D'où [tex]P:(\dfrac{1-a}{1+a};\dfrac{2a}{1+a})[/tex]
2°) [tex]\vec{PN}=\vec{CA}\\\\(x_N - \dfrac{1-a}{1+a};y_N - \dfrac{2a}{1+a})=(0-0,0-1)\\\\(x_N - \dfrac{1-a}{1+a};y_N - \dfrac{2a}{1+a})=(0,-1)\\\\x_N - \dfrac{1-a}{1+a}+0\Longrightarrow x_N = \dfrac{1-a}{1+a}\\\\y_N - \dfrac{2a}{1+a}=-1\Longrightarrow y_N=-1+\dfrac{2a}{1+a}\Longrightarrow y_N=\dfrac{-1-a+2a}{1+a}[/tex]
[tex]\Longrightarrow y_N=\dfrac{a-1}{1+a}[/tex]
D'où [tex]N:(\dfrac{1-a}{1+a};\dfrac{a-1}{1+a})[/tex]
[tex]\vec{BM}=\vec{CQ}\\\\(x_M-1;y_M-0)=(0-0;a-1)\\\\(x_M-1;y_M)=(0;a-1)\\\\x_M-1=0\Longrightarrow x_M=1\\\\y_M=a-1[/tex]
D'où [tex]M:(1;a-1)[/tex]
3) [tex]\vec{RN}=(\dfrac{2}{1+a};\dfrac{a-1}{1+a})\\\\\vec{MR}=(-2;1-a)[/tex]
Vérifions la colinéarité des deux vecteurs.
[tex]-2\times\dfrac{a-1}{1+a}-(1-a)\times\dfrac{2}{1+a}=0\\\\\dfrac{-2a+2}{1+a}-\dfrac{2-2a}{1+a}=0\\\\\dfrac{-2a+2-2+2a}{1+a}=0\\\\0=0[/tex]
Les points R,M et N sont alignés.
1) a) Coefficient directeur de la droite (BC) :
[tex]\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_A}=\dfrac{1-0}{0-1}=-1[/tex]
Coefficient directeur de RQ :
[tex]\dfrac{y_Q-y_R}{x_Q-x_R}=\dfrac{a-0}{0-(-1)}=\dfrac{a}{1}=a[/tex]
Puisque a est différent de -1, les droites sont sécantes.
b) Résoudre le système constitué par les équations des deux droites (BC) et (QR).
Comme nous avons trouvé les coefficient directeurs des deux droites et que les ordonnées à l'origine sont connues, nous avons :
(BC) : y = -x + 1
(PQ) : y = ax + a.
ax + a = -x + 1
x + ax = 1 - a
(1 + a)x = 1 -a.
[tex]x=\dfrac{1-a}{1+a}[/tex]
[tex]y=-x+1=-\dfrac{1-a}{1+a}+1=\dfrac{-1+a}{1+a}+1=\dfrac{-1+a}{1+a}+\dfrac{1+a}{1+a}=\dfrac{2a}{1+a}[/tex]
D'où [tex]P:(\dfrac{1-a}{1+a};\dfrac{2a}{1+a})[/tex]
2°) [tex]\vec{PN}=\vec{CA}\\\\(x_N - \dfrac{1-a}{1+a};y_N - \dfrac{2a}{1+a})=(0-0,0-1)\\\\(x_N - \dfrac{1-a}{1+a};y_N - \dfrac{2a}{1+a})=(0,-1)\\\\x_N - \dfrac{1-a}{1+a}+0\Longrightarrow x_N = \dfrac{1-a}{1+a}\\\\y_N - \dfrac{2a}{1+a}=-1\Longrightarrow y_N=-1+\dfrac{2a}{1+a}\Longrightarrow y_N=\dfrac{-1-a+2a}{1+a}[/tex]
[tex]\Longrightarrow y_N=\dfrac{a-1}{1+a}[/tex]
D'où [tex]N:(\dfrac{1-a}{1+a};\dfrac{a-1}{1+a})[/tex]
[tex]\vec{BM}=\vec{CQ}\\\\(x_M-1;y_M-0)=(0-0;a-1)\\\\(x_M-1;y_M)=(0;a-1)\\\\x_M-1=0\Longrightarrow x_M=1\\\\y_M=a-1[/tex]
D'où [tex]M:(1;a-1)[/tex]
3) [tex]\vec{RN}=(\dfrac{2}{1+a};\dfrac{a-1}{1+a})\\\\\vec{MR}=(-2;1-a)[/tex]
Vérifions la colinéarité des deux vecteurs.
[tex]-2\times\dfrac{a-1}{1+a}-(1-a)\times\dfrac{2}{1+a}=0\\\\\dfrac{-2a+2}{1+a}-\dfrac{2-2a}{1+a}=0\\\\\dfrac{-2a+2-2+2a}{1+a}=0\\\\0=0[/tex]
Les points R,M et N sont alignés.