Répondre :
Soit Un = (1+racine de 2)^n. N appartient a N. On admet que chacun
de ses termes peut s'écrire de façon unique sous la forme (1+racine de
2)^n = an + bn racine de 2 , avec an et bn entiers naturels.
a/ pour tout entier naturel n, exprimer (an+1 , bn+1) en fonction de (an,bn).
(1+V2)^n = a(n) + b(n) V2
(1+V2)^(n+1) = (a(n) + b(n) V2)(1+V2)
= a(n)+a(n)V2+b(n)V2+2b(n)
=[a(n)+2b(n)] + [a(n)+b(n)] V2
donc
a(n+1)=a(n)+2b(n)
b(n+1)=a(n)+b(n)
b/ pour tout entier naturel n, on appelle Vn la matrice colonne (1;2) : Vn = [an / bn]. Trouver une matrice carrée (2;2) notée A telle que Vn+1 = AVn.
[ 1 2 ]
A= [ 1 1 ]
a/ pour tout entier naturel n, exprimer (an+1 , bn+1) en fonction de (an,bn).
(1+V2)^n = a(n) + b(n) V2
(1+V2)^(n+1) = (a(n) + b(n) V2)(1+V2)
= a(n)+a(n)V2+b(n)V2+2b(n)
=[a(n)+2b(n)] + [a(n)+b(n)] V2
donc
a(n+1)=a(n)+2b(n)
b(n+1)=a(n)+b(n)
b/ pour tout entier naturel n, on appelle Vn la matrice colonne (1;2) : Vn = [an / bn]. Trouver une matrice carrée (2;2) notée A telle que Vn+1 = AVn.
[ 1 2 ]
A= [ 1 1 ]