Répondre :
résolvons l'inéquation
1/2 <=x/(x+1) <=1
x/(x+1) >=1/2 => x/(x+1) - 1/2 >=0 => (2x - x - 1)/(x+1) >=0 => (x-1)/(x+1) >= 0
par un tableau de signes (ou le signe du trinôme du second degré) on trouve
il faut x <= -1 ou x>=1
et
x/(x+1) <=1 => x/(x+1) -1 <= 0 => (x - x - 1)/(x+1) <=0 => -1/(x+1) <= 0 ou 1/x+1 > 0
ce qui équivaut à x >-1
en combinant les deux conditions on trouve x>= 1
1/2 <=x/(x+1) <=1
x/(x+1) >=1/2 => x/(x+1) - 1/2 >=0 => (2x - x - 1)/(x+1) >=0 => (x-1)/(x+1) >= 0
par un tableau de signes (ou le signe du trinôme du second degré) on trouve
il faut x <= -1 ou x>=1
et
x/(x+1) <=1 => x/(x+1) -1 <= 0 => (x - x - 1)/(x+1) <=0 => -1/(x+1) <= 0 ou 1/x+1 > 0
ce qui équivaut à x >-1
en combinant les deux conditions on trouve x>= 1
Démontrer que pour tout réel x >=1 on a :
1/2 <=x/(x+1) <=1
on pose f(x)=x/(x+1)
alors f(x)=(x+1-1)/(x+1)=1-1/(x+1)
donc f'(x)=1/(x+1)²
donc f est croissante sur [1;+inf[
ainsi f(x)<=f(1) donc f(x)<=1/2
de plus lim(f,+inf)=1 donc f(x)<1
ainsi : 1/2<=f(x)<1
1/2 <=x/(x+1) <=1
on pose f(x)=x/(x+1)
alors f(x)=(x+1-1)/(x+1)=1-1/(x+1)
donc f'(x)=1/(x+1)²
donc f est croissante sur [1;+inf[
ainsi f(x)<=f(1) donc f(x)<=1/2
de plus lim(f,+inf)=1 donc f(x)<1
ainsi : 1/2<=f(x)<1