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résolu

VECTEURS
Re bonsoir ,ceci est le 2 ème exercice sur lequel je bloque merci de votre aide , c'est toujours les vecteurs

Soit ABC un triangle. I et J sont les milieux des côtés [AB] et [AC].
M et N sont les points tels que AM= BJ et NA=CI. P est le milieu du segment [MN]
on veut demontrer que les droites (AP) et (BC) sont parallèles.

1) Demontrer que AM + AN = 2AP puis en déduire que AP=[tex] \frac{1}{2} [/tex]AM+[tex] \frac{1}{2} [/tex]AN

2) démontrer que AP= [tex] \frac{1}{2} [/tex]BJ+ [tex] \frac{1}{2} [/tex]IC et que IJ=[tex] \frac{1}{2} [/tex]BC

3) en déduire que AP = [tex] \frac{3}{4} [/tex]BC ,puis que les droites (AP) et (BC) sont parallèles

Répondre :

Bonsoir,
 1) AM+AN=AP+PM+AP+PN
Or P milieu de MN, donc PM+PN=0
Donc AM+AN=2AP
 Donc AP=1/2(AM+AN)=1/2AM+1/2AN

2) AM=BJ
NA=CI donc AN=IC
Donc AP=1/2BJ+1/2IC
BC=BA+AC=2BI+2AJ
IA=BI
Donc BC=2IA+2AJ=2(IA+AJ)=2IJ
Donc IJ=1/2BC

3) AP=1/2BJ+1/2IC=1/2(BI+IJ)+1/2(IB+BC)
AP=1/2BI+1/2IJ+1/2IB+1/2BC
IJ=1/2BC donc 1/2IJ=1/4BC
Donc AP=1/2IB+1/2BI+1/2BC+1/4BC=1/2(BI+IB)+3/4BC
BI+IB=0 donc AP=3/4BC
Donc AP et BC sont colinéaires,(AP)et(BC)sont distinctes puisque A,B,C non alignés, donc (AP)et(BC)sont //
Je te mets le schéma en attaché


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