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Exercie 1 : Soit x un réel strictement supérieur à 20.On dispose

Exercie 1 : Soit x un réel strictement supérieur à 20.
On dispose de deux cuves:
- la première est un cube, de coté x cm.
- la seconde est un pavé droit à base carré, dont le coté mesure 20cm de plus que celui du cube; et sa hauteur mesure 20 cm de moins que celle du cube.

On souhaite déterminer les valeurs de x de façon que la cuve cubique ait le volume le plus grand. 

1. Montrer que le problème de ramène à résoudre l'inéquation
          (I)  x2-20x-4000

2. Dévelloper (x-10)2-500

3. Résoudre algébriquement le problème.

Répondre :

Bonsoir,

1) Volume du cube = [tex]x^3[/tex]
Volume du pavé droit :  [tex](x+20)^2(x-20)[/tex]

Il faut que   [tex](x+20)^2(x-20)\le x^3[/tex]

[tex](x+20)(x+20)(x-20)\le x^3\\\\(x+20)(x^2-400)\le x^3\\\\x^3-400x+20x^2-8000\le x^3\\\\20x^2-400x-8000\le 0\\\\x^2-20x-400\le0[/tex]

2) [tex] (x-10)^2-500=x^2-20x+100-500=x^2-20x-400[/tex]

3) [tex]x^2-20x-400\le0[/tex]

[tex](x-10)^2-500\le0\\\\(x-10)^2-(10\sqrt{5})^2\le0\\\\(x-10-10\sqrt{5})(x-10+10\sqrt{5})\le0[/tex]

Tableau de signes.

Racines : 

[tex]x-10-10\sqrt{5}=0\Longrightarrow x=10+10\sqrt{5}\\\\x-10+10\sqrt{5}=0\Longrightarrow x=10-10\sqrt{5}[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&10-10\sqrt{5}&&10+10\sqrt{5}&&+\infty\\ x-10-10\sqrt{5}&&-&-&-&0&+&\\ x-10+10\sqrt{5}&&-&0&+&+&+&\\ Produit&&+&0&-&0&+& \\\end{array}[/tex]

Donc   [tex]10-10\sqrt{5}\le x\le 10+10\sqrt{5},\ soit\ \ -12,4\le x\le32,4[/tex]

Or l'énoncé indique que l'on a : x > 20.

Par conséquent :   [tex]20\ cm<x\le 32,4\ cm[/tex]



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