Répondre :
P(x)=(x-A)(x-B)(x-L)
si on developpe on trouve x^3-(A+B+L)x²+ (A*B+B*L+A*L)x-A*B*L
par identification ona les 3 relations de 2
L=-1/AB donne L=-1/(2-V5)=2+V5
On considère la fonction polynôme P définie par : P(x) = x(puissance)3 - 5x² + 3x + 1
On note A(alpha), B(beta) et L(lamba) ses racines(elles existent!!)
1. Ecrire en fonction de A, A et L la forme (totalement) factorisée de P(x).
2. Montrer que A+B+L=5, A*B+B*L+A*L=3 et A*B*Y = -1
3. Sachant que A= 2-V(racine de)5 et B = 1, calculer (simplement) la troisième racine.
On admettra pour traiter le 3. Le théorème suivant :
Etant donné un polynôme P de degrè n,
un réel A une racine de P si et seulement si P s'écrit sous la forme :
P(x) = (x-A)Q(x); où Q est un polynôme de degrè n-1
P(x)=(x-A)(x-B)(x-L)
si on developpe on trouve x^3-(A+B+L)x²+ (A*B+B*L+A*L)x-A*B*L
par identification ona les 3 relations de 2
L=-1/AB donne L=-1/(2-V5)=2+V5