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résolu

ABC est un triangle isocéle en A. Le cercle C de diamètre [AB] coupe (BC) en D et (AC) en E. La perpendiculaire à (AB) passant par C coupe (BE) en F. a) Montrer que BEA est rectangle en E b) Que représente F pour le triangle ABC? c) Montrez que A, F et D sont alignés. Introduction: Pour démontrer que trois points sont alignés, on peut montrer qu'ils appartiennent à une droite remarquable du triangle. d) Montrez que BFC est isocéle

Répondre :

a) Les sommets B, E et A du triangle sont sur le cercle et [AB] est un diamètre du cercle donc le triangle BEA est rectangle en E !!

b) Le point F est le point d'intersection de la droite (CF) perpendiculaire à (AB) (donc hauteur du triangle ABC!!!) et de la droite (BE) perpendiculaire à (AC) (donc aussi hauteur du triangle ABC !!!). Le point d'intersection des hauteurs dans un triangle est l'orthocentre.

c) Le triangle ADB est rectangle en D (même propriété que pour la question a) ) Donc (AD) est la hauteur du triangle ABC issue de A. Or les 3 hauteurs de ABC sont concourantes en F (d'après question précédente). Donc les points A, F et C sont alignés.

d) Le triangle ABC est isocèle en A. La droite (AD) est l'axe de symétrie du triangle ABC. B est donc le symétrique de C par rapport à l'axe (AD) et F appartient à (AD). Donc FB = FC. Donc le triangle BFC est isocèle en F.

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