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Un étude éffectuée sur l'année scolaire 2009/2010 montre que d'une semaine sur l'autre 5% des enfants ne se réinscrivent pas à la natation, alors que dans le même temps 10 nouveaux enfants s'y inscrivent.

La première semaine de l'année scolaire 2010/2011, 80 enfants se sont inscrient à la natation. On se base sur les résultats de l'année précedente pour prévoir l'évolutions des inscriptions.

On note u0 le nombre initial d'anfant inscrient u0=80

 

1)Montrer que u1=86

2) Montrer que un+1= 0,95un +10 pour tout entier naturel n

3) Pour tout entier naturel n, on pose an= un -200

a- Montrer que la suite (an) est une suite géométrique dont on prouve la raison et le 1er terme.

b- Pour tout entier naturel n, exprimer an en fonction de n

c- En déduire que pour tout entier naturel n, on a un= 200 - 120x0,95^n

4) Combien d'enfants s'inscrivent au bout de 6 semaines ?

5) Montrer que pour tout entier naturel n, on a un+1 - un = 6x0,95

    En déduire que le nombre d'inscriptions augmente toutes les semaines

6) Calculer la limite de la suite u. Interpréter le résultat

 

 

Je n'y arrive pas (sauf la 1ere biensur...)

 

Répondre :

Un enfants la semaine n° n, 5% de moins et 10 de plus : U(n+1)=Un-0.05*Un+10

et donc U(n+1)=0.95*U(n)+10 CQFD

 

a(n+1)/a(n)=(U(n+1)-200)/(U(n)-200)=(0.95U(n)-190)/(U(n)-200)

mais 190 c'est 0.95*200 donc (0.95U(n)-190)=0.95*(U(n)-200)

et par simplification a(n+1)/a(n)=0.95 est constant

 

ainsi an=a0*(0.95)^n et a0=-120 d'où Un=an+200=200-120*(0.95)^n

 

U6 vaut donc environ 112

 

un+1 - un = 200 - 120x0,95^(n+1)-(200 - 120x0,95^n)=-120*(0.95^(n+1)-0,95^n)

soit -120*(0.95)^n*(0.95-1) ou 6*(0,95)^n

ce nombre positif montre que Un+1 est >Un les inscriptions augmentent donc de n a n+1

 

lim (Un)=200 a l'infini, tout le monde vient...

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